2024-2025学年北京市首都师范大学附属中学高二上学期9月月考数学试卷含详解.docx

2024北京首都师大附中高二9月月考

数学

一?选择题（共10小题,每小题4分,共40分,每题只有一个正确选项）

1.已知,则（）

A.0 B.1 C. D.2

2.如图,在平行六面体中,（）

A. B. C. D.

3.已知,,则的坐标为（）

A. B. C. D.

4.如图,已知正方体的棱长为1,（）

A.1 B. C. D.

5.设,分别是平面,的法向量,其中,,若,则（）

A. B. C.3 D.

6.已知直线的方向向量为,直线的方向向量为,则直线与所成角的度数为（）

A. B. C. D.

7.已知为平面的一个法向量,为直线的一个方向向量,则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8.已知点为空间不共面的四点,且向量,向量,则与不能构成空间基底的向量是()

A. B. C. D.或

9.在空间直角坐标系中,点在坐标平面内的射影为点,且关于轴的对称点为点,则,两点间的距离为（）

A B. C. D.

10.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中,,分别为,的中点,则和夹角的余弦值为（）

A. B. C. D.

二?填空题（共5小题,每小题4分,共20分）

11.已知向量,则与共线单位向量为_________.

12已知向量,且,则________,_________.

13.已知直线经过,两点,则点到直线的距离为_________.

14.在空间直角坐标系中,已知,,.则与的夹角的余弦值为___________,在的投影向量___________.

15.以下关于空间向量的说法：

①若非零向量,,满足,,则

②任意向量,,满足

③若为空间向量的一组基底,且,则,,,四点共面

④已知向量,,若,则钝角

其中正确命题的序号是_________.

三?解答题（共4道大题,共60分）

16.如图,在正方体中,,为线段的中点.

（1）求证：.

（2）求平面的法向量.

（3）求点到平面的距离.

17.如图,正三棱柱的底面边长为,高为,为的中点,为的中点.

（1）求证：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

18.如图,在平行六面体中,,,,,,与相交于点,设,,.

（1）试用基底表示向量.

（2）求的长.

（3）求直线与直线所成角

19.如图,四棱锥S--ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点．

（1）求证：AC⊥SD.

（2）若SD⊥平面PAC,求平面PAC与平面ACD的夹角大小.

（3）在（2）的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC．若存在,求SE∶EC的值,若不存在,试说明理由．

2024北京首都师大附中高二9月月考

数学

一?选择题（共10小题,每小题4分,共40分,每题只有一个正确选项）

1.已知,则（）

A.0 B.1 C. D.2

【答案】C

【分析】利用复数的乘法求出,再求出复数的模.

【详解】依题意,,则.

故选：C

2.如图,在平行六面体中,（）

A. B. C. D.

【答案】C

【分析】利用向量的加减法法则计算即可.

【详解】

故选：C

3.已知,,则的坐标为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【分析】利用空间向量坐标运算即可.

【详解】因为,.

所以.

故选：.

4.如图,已知正方体的棱长为1,（）

A.1 B. C. D.

【答案】A

【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.

【详解】因为.

且,.

所以.

故选：.

5.设,分别是平面,的法向量,其中,,若,则（）

A. B. C.3 D.

【答案】D

【分析】本题根据图形关系得到,得到,解出即可.

【详解】,且分别是平面的法向量,则.

则有,故,则.

故选：D.

6.已知直线的方向向量为,直线的方向向量为,则直线与所成角的度数为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【分析】根据空间向量夹角公式,代入即可得到向量夹角,同时注意直线夹角的范围.

【详解】直线方向向量.

直线方向向量.

.

所以两向量夹角为.

直线和所成角为.

故选：B.

7.已知为平面的一个法向量,为直线的一个方向向量,则“”是“”的（）

A充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.

【详解】为平面的一