人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题 (2).docVIP

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第2课时用空间向量研究夹角问题

课后训练巩固提升

1.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成的角为()

A.60° B.90°

C.45° D.以上都不对

解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),

所以A1E=(0,1,-1),D1

设平面A1ED1的法向量为n=(x,y,z),

则n

可得平面A1ED1的一个法向量为n=(0,1,1).

因为cosn,EA=n·

所以n,EA=180°.

所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.

答案:B

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()

A.64 B.104 C.3

解析:建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz,

可知∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°.

设B1C1=1,则CC1=3=DD1.

∵∠DC1D1=45°,

∴C1D1=3.∴B1(3,0,0),C(3,1,3),C1(3,1,0),D(0,1,3).

∴B1C=(0,1,3),C1D=(-

∴cosB1C,

∴直线B1C与C1D所成角的余弦值为64

答案:A

3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则平面PBC与平面BDF的夹角的正切值为()

A.3

B.3

C.3

D.2

解析:设AC与BD交于点O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

设PA=AD=AC=1,则BD=3,所以O(0,0,0),B32,0,0,F0,0,12,C

易知OC=

可得平面PBC的一个法向量为n=(1,3,

所以cosn,OC=217

设平面PBC与平面BDF的夹角为θ,

则cosθ=|cosn,OC|=217

所以sinθ=277,tanθ=

所以平面PBC与平面BDF的夹角的正切值为23

答案:D

4.(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则正确的有()

A.AD与BC所成的角为30°

B.AC与BD所成的角为90°

C.BC与平面ACD所成角的正弦值为6

D.平面ABC与平面BCD夹角的正切值是2

解析:如图,正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,取BD中点O,连接AO,CO,

则以O为原点,OC所在直线为x轴,OD所在直线为y轴,OA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,

设OC=1,则A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),AD=(0,1,-1),BC=(1,1,0),

|cosAD,BC|=

所以异面直线AD与BC所成的角为60°,故A不正确;

AC=(1,0,-1),BD=(0,2,0),

因为AC·BD=0,所以AC

设平面ACD的法向量为t=(x1,y1,z1),

则t·AC=x1

设BC与平面ACD所成角为θ,则sinθ=|cosBC,t|=|BC

平面BCD的一个法向量n=(0,0,1),BA=(0,1,1),BC=(1,1,0),

设平面ABC的法向量m=(x2,y2,z2),

则m

取x2=1,得m=(1,-1,1),

设平面ABC与平面BCD的夹角为θ,

则cosθ=|cosm,n|=|m

所以sinθ=63,所以tanθ=2

所以平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是2,故D正确.

答案:BCD

5.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是.?

解析:设正三棱柱的棱长为2.

因为AB

所以AB1·BM=(BB

所以异面直线AB1与BM的夹角为90°.

答案:90°

6.在空间直角坐标系Oxyz中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a0),如果平面α与平面Oxy的夹角为45°,则a=.?

解析:平面Oxy的一个法向量为n=(0,0,1).

设平面α的法向量为u=(x,y,z),则有-

即3x=4y=az.所以可取u=a3

由题意得|cosn,u|=1a

已知a0,故a=125

答案:12

7.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形,E是CD的中点,D1E⊥CD,AB=2BC=2.

(1)求证:平面CC1D1D⊥底面ABCD;

(2)若平面BC