人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理.docVIP

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1.2空间向量基本定理

课后训练巩固提升

A组

1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是()

A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a

C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c

解析:对于A,由于3a=2(a-b)+a+2b,故向量3a,a-b,a+2b共面,不能作为基底,故A不符;同理可判断B,D不符;对于C,因为不存在实数m,n,使得a=m·2b+n·(b-c),所以三个向量不共面.故选C.

答案:C

2.已知平行六面体OABC-OABC,OA=a,OC=c,OO

A.O

B.OD=-b-12

C.OD=

D.OD=

解析:OD=OO+

答案:D

3.已知在正方体ABCD-ABCD中,O1,O2,O3分别是AC,AB,AD的中点,以{AO1,AO2,AO3}为基底,AC

A.x=y=z=1 B.x=y=z=1

C.x=y=z=22

解析:AC=AA+AD+

答案:A

4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是()

A.2 B.3 C.5 D.7

解析:∵EF=EA+AA1+A1F,且|EA|=|

∴EF2=|EF|2=(EA+AA1+A1F)2=|EA|2

因此|EF|=5,即EF的长为5.

答案:C

5.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a与b的位置关系是.?

解析:∵a·b=-6i2+8j2-2k2=-6+8-2=0.∴a⊥b.

答案:a⊥b

6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心,若EF+λA1D=0(λ∈R),则λ=

解析:如图,连接A1D,A1C1,C1D,则E在A1C1上,F在C1D上,

易知EF12A1D.

所以EF=

即EF-

所以λ=-12

答案:-1

7.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长度相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是.?

解析:设棱长为2.

∵AB1

∴AB1·BM=(

∴AB1⊥BM

答案:90°

8.如图,设四面体OABC的三条棱OA=a,OB=b,OC=c,G为△ABC的重心,以{a,b,c}为空间的一个基底表示向量BE,

解:由G为△ABC的重心,易知E为AC的中点,

所以BE=12(BA+BC)=12[(

OG=OB+BG=b+23

9.如图,在直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=AA,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB的中点.

(1)求证:CE⊥AD;

(2)求CE与AC所成角的余弦值.

答案：(1)证明:设CA=a,CB=b,CC

根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.

∵CE=b+12c,AD=-c+1

∴CE·AD=-12c2

∴CE⊥AD.

(2)解:∵AC=-a+c,CE=b+1

∴|AC|=2|a|,|CE|=5

又AC·CE=(-a+c)·b+12c=

∴cosAC,CE

故E与AC所成角的余弦值为1010

B组

1.若a=e1+e2+e3,b=e1-e2-e3,c=e1+e2,d=e1+2e2+3e3({e1,e2,e3}为空间的一个基底),且d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为()

A.52,-12,-1 B.

C.-52,12,1 D.

解析:d=xa+yb+zc=(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x-y)e3.

∵d=e1+2e2+3e3,

∴x+y+z=1

解得x=52,y=-1

答案:A

2.已知OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()

A.14,

C.13,

解析:如图,由已知得OG=

因为G1是△ABC的重心,所以OG

所以OG=

从而x=y=z=14

答案:A

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则直线AC1与CE的位置关系是()

A.重合 B.垂直

C.平行 D.无法确定

解析:AC1=AC+AA1,CE=

答案:B

4.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PA=AD,E,F分别是线段PA,CD的中点,则EF与BD所成角的余弦值为()

A.26 B.

C.36 D.

解析:设正方形ABCD的边长为1,则AP=AD=AB=1,设AB=a,AD=b,AP=c,

则EF=EA+AD+DF=-

EF·BD=-12c+b+12a·(b-a)=-12c·b+12c·a+b

|EF|=(-12c+

所以cosEF