2024年高考数学一轮复习练习题含答案解析 第3节 平面向量的数量积及其应用.pdfVIP

2024年高考数学一轮复习练习题含答案解析

第3节平面向量的数量积及其应用

考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量

积与投影向量的长度的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积

.4.

的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂

直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简

单的力学问题与其他一些实际问题.

1.平面向量数量积的有关概念

→

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，

→

OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

|a||b|cos__θab()a·ba·b|a||b|cos__θ.

叫做向量与的数量积或内积，记作，即＝规

定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

(3)投影向量

→→

如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线

→

OM

ON的垂线，垂足为M，则就是向量a在向量b上的投影向

11

量.

→

OM

设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关

1

→

系为OM＝|a|cosθe.

1

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

a(xy)b(xy)θab.

设向量＝，，＝，，为向量，的夹角

1122

(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝xx＋yy.

1212

22

a·axy

(2)模：|a|＝＝＋.

11

xx＋yy

a·b1212

(3)夹角：cosθ＝＝.

|a||b|2222

xy·xy

1＋12＋2

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔xx＋yy＝0.

1212

1

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2222

(5)|a·b||a||b|(ab)⇔|xxyy|x＋y·x＋y.

≤当且仅当∥时等号成立