高中数学第二章基本初等函数 指数函数 第1课时根式学案含解析新人教A版必修.docVIP

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第二章基本初等函数(Ⅰ)

2.1指数函数

2．1.1指数与指数幂的运算

第1课时根式

[目标]1.理解n次方根及根式的概念；2.能正确运用根式运算性质进行运算变换．

[重点]利用根式的运算性质对式子进行化简．

[难点]有条件或复杂根式的化简求值问题.

知识点一a的n次方根和根式

[填一填]

1．a的n次方根

(1)定义：如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且n∈N*.

(2)表示：

2.根式

式子eq\r(n,a)叫做根式,其中根指数是n,被开方数是a.

[答一答]

1.eq\r(3,8)是根式吗？根式一定是无理式吗？

提示：是根式．根式不一定是无理式．如eq\r(3,8)是根式,但不是无理式,因为eq\r(3,8)＝2是有理数．

2．对“根式记号”应关注什么？

提示：当n为大于1的奇数时,a的n次方根表示为eq\r(n,a)(a∈R)；当n为大于1的偶数时,eq\r(n,a)(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,另一个是－eq\r(n,a),从而(±eq\r(n,a))n＝a.

知识点二根式的性质

[填一填]

(1)eq\r(n,0)＝0(n∈N*,且n1)；

(2)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*,且n1)；

(3)eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)；

[答一答]

3．如何确定根式eq\r(n,a)的符号？

提示：根式eq\r(n,a)的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定；①当n为偶数时,a≥0,eq\r(n,a)为非负实数；②当n为奇数时,eq\r(n,a)的符号与a的符号一致,a0时,eq\r(n,a)0；a＝0时,eq\r(n,a)＝0；a0时,eq\r(n,a)0.

4.eq\r(n,an)和(eq\r(n,a))n二者之间形式相似,有何区别,它们分别等于什么？

提示：(1)(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂．若n为奇数,存在唯一的x∈R,使x＝eq\r(n,a),满足xn＝a,即(eq\r(n,a))n＝a；

若n为偶数,只有a≥0时,eq\r(n,a)才有意义,在实数范围内使xn＝a成立的x有两个：(±eq\r(n,a))n＝a；而当a0时,无意义．

(2)eq\r(n,an)是实数an的n次方根,当n为奇数时,eq\r(n,an)＝a,当n为偶数时,eq\r(n,an)＝|a|.

综上可知,①当n为奇数,a∈R时,有eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a；

②当n为偶数,a≥0时,有eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a.

类型一根式的概念问题

[例1](1)16的平方根为________,－27的5次方根为________．

(2)已知x7＝6,则x＝________.

(3)若eq\r(4,x－2)有意义,则实数x的取值范围是________．

[答案](1)±4eq\r(5,－27)

(2)eq\r(7,6)(3)[2,＋∞)

[解析](1)∵(±4)2＝16,

∴16的平方根为±4.－27的5次方根为eq\r(5,－27).

(2)∵x7＝6,∴x＝eq\r(7,6).

(3)要使eq\r(4,x－2)有意义,

则需x－2≥0,即x≥2.

因此实数x的取值范围是[2,＋∞)．

[变式训练1]有下列说法：

①eq\r(3,－27)＝3；

②16的4次方根是±2；

③eq\r(4,81)＝±3；

④eq\r(?x＋y?2)＝|x＋y|.

其中正确的有②④(填上正确说法的序号)．

解析：当n是奇数时,负数的n次方根是一个负数,故eq\r(3,－27)＝－3,所以①错误；16的4次方根有两个,为±2,②正确；eq\r(4,81)＝3,所以③错误；eq\r(?x＋y?2)是正数,所以eq\r(?x＋y?2)＝|x＋y|,④正确．故填②④.

类型二根式的化简与运算

[例2]求下列各式的值：

(1)eq\r(6\f(1,4))－eq\r(3,3\f(3,8))－eq\r(3,0.125)；

(2)eq\r(3,?－8?3)＋eq\r(4,?3－π?4)；

(3)(eq\r(5,a－b))5＋(eq\r(6,b－a))6(ba)．

[分析]利用根式的性质化简各个根式,再进行运算．

[解](1)原式＝eq\r(\f(25,4))－eq\r(3,\f(27,8))－eq\r(3,\f(1,8))

＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).

(2)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11.

(3)原式