人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册课后习题 第1章空间向量与立体几何 1.4.2第2课时 用空间向量研究夹角问题 (3).docVIP

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第2课时用空间向量研究夹角问题

课后·训练提升

基础巩固

1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°,则直线l与平面α所成的角为()

A.30° B.60°

C.150° D.120°

答案:B

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=2,BC=2,DD1=32,则AC与BD1所成角的余弦值是(

A.0 B.3

C.-37070

答案:A

解析:如图,建立空间直角坐标系,则D10,0,32,B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),

所以BD1=-2,-2,32,AC

设AC与BD1所成的角为θ,则cosθ=|cosBD1,

3.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=2AB,则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为()

A.23 B.3

C.23 D.

答案:A

解析:不妨设AB=1,则AA1=2.

以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),

所以DB=(1,1,0),DC1=(0,1,-2),

设n=(x,y,z)为平面BDC1的法向量,

则n

取y=2,则x=-2,z=1,于是n=(-2,2,1)是平面BDC1的一个法向量.

设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,

则sinθ=|cosDC,n|=|DC

4.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=π3,AB=2AD=2PD,PD⊥平面ABCD,则(

A.PA⊥BD

B.PB与平面ABCD所成角为π

C.直线AB与PC所成角的余弦值为2

D.平面PAB与平面ABCD的夹角为45°

答案:AC

解析:设AD=a,因为∠DAB=π3

由余弦定理可得BD=3a,从而BD2+AD2=AB2,即BD⊥AD,

由PD⊥底面ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(a,0,0),B(0,3a,0),C(-a,3a,0),D(0,0,0),P(0,0,a),故PA=(a,0,-a),BD=(0,-3a,0),PB=(0,3a,-a),AB=(-a,3a,0),PC=(-a,3a,-a),所以PA·BD=a×0+0×(-3a)+(-a)×0=0,所以PA⊥BD,即PA⊥BD,故A正确;易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),所以PB与平面ABCD所成角θ1满足sinθ1=|cosPB,m|=a2a=12,即PB与平面ABCD所成角为π6,故B错误;异面直线AB与PC所成角θ2满足cosθ2=|cosAB,PC|=4a22a·5a=255,故C正确;设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),所以n·PA=0

5.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,点E是线段AB上一点,当平面PEC与平面ABCD的夹角为π4时,则AE等于(

A.1 B.12

C.2-2 D.2-3

答案:D

解析:以DA,DC,DP所在直线分别为(0≤m≤2).

D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0),E(1,m,0),C(0,2,0),PC=(0,2,-1),CE=(1,m-2,0),

可知平面ABCD的一个法向量n1=(0,0,1),设平面PEC的法向量为n2=(a,b,c),

则n

∴2b-c=0

令b=1,则a=2-m,c=2,于是n2=(2-m,1,2)是平面PEC的一个法向量.

|cosn1,n2|=|n1·n2||n1||n2|=2(2

即AE=2-3.

6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为C1C的中点,O为底面ABCD的中心,P为A1B1上的任意点,则直线BM与OP所成的角为.?

答案:π

解析:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为2,A1P=x(0≤x≤2),

则O(1,1,0),P(2,(0,2,1),

所以OP=(1,x-1,2),BM=(-2,0,1).

所以OP·BM=0,所以OP⊥BM,

所以直线BM与OP所成的角为π2

7.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则异面直线AE与A1C1所成角的余弦值等于,平面AEF与平面ABCD的夹角的正切值为.?

答案:3

解析:如图,建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1