人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册课后习题 第1章空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 (3).docVIP

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1.1.2空间向量的数量积运算

课后·训练提升

基础巩固

1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案:A

解析:a·b=|a||b|?cosa,b=1?a,b=0°,即a与b共线.反之不成立,当a与b反向共线时,a·b=-|a||b|.

2.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=2,且a与2b-a互相垂直,则a,b等于()

A.30° B.45°

C.60° D.90°

答案:B

解析:由已知得,a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,所以a·b=2,

所以cosa,b=a·

又0°≤a,b≤180°,所以a,b=45°.

3.已知四面体ABCD的所有棱长都等于2,E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,则EF·AC等于(

A.-12 B.1

C.-52 D.

答案:D

解析:由题意知EF=

因为AB·AC=|AB|·|AC|cosAB,AC=2,BC·AC=|BC|·|AC|cosBC,AC=2,CD·AC=|CD|·|AC|cosCD

4.已知A,B,C,D是空间中不共面的四点,若(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△ABC

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

答案:B

解析:∵(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=(DB-DA+DC-DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(AB-AC)=|AB|2-|AC

5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,关于下列四个结论,正确的是()

A.(AA1+AD

B.A1C·(

C.AD1与

D.正方体的体积为|AB·

答案:AB

解析:如图所示,(AA1+AD+AB)2=(AA1+A1

A1C·(A1B1-A

AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角,而D1C与D1A的夹角为60°,故AD1

6.已知空间向量a,b,|a|=32,|b|=5,m=a+b,n=a+λb(λ∈R),a,b=135°,若m⊥n,则λ的值为.?

答案:-3

解析:由题意知a·b=|a||b|cosa,b=32×5×-22=-15.由m⊥n,得m·n=(a+b)·(a+λb)=0,即|a|2+(λ+1)a·b+λ|b|2=18-15(λ+1)+25λ=0,解得λ=-

7.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则|BC-EF|=,EF与AC

答案:3

解析:因为EF=12

所以|BC-EF|2=BC-12BD2=|BC|2

所以|BC-EF|=

因为EF=

所以AC·EF=12

又EF,AC∈[0,π],所以EF,

8.已知空间向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且(a-2b)·(a+b)=5,则a+b在a上的投影向量为.?

答案:59

解析:∵(a-2b)·(a+b)=5,

∴|a|2-a·b-2|b|2=5,∴a·b=-4.

∴a·(a+b)=|a|2+a·b=5,|a+b|=|a

∴cosa,a+b=a·(

∴a+b在a上的投影向量为|a+b|cosa,a+b·a|a|

9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面ABB1A1的中心,F为A1D1的中点.试计算:

(1)BC·

(2)BF·

(3)EF·

解:设AB=a,AD=b,AA

则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.

(1)∵ED1=EA

∴BC·ED1=b·

(2)∵BF=BB1+

∴BF·AB1=

(3)∵EF=EA1+

FC

∴EF·FC1=12

能力提升

1.已知两条异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-12,则这两条异面直线所成的角为(

A.30° B.60°

C.120° D.150°

答案:B

2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,则A1C的长为()

A.5 B.22

C.14 D.17

答案:A

解析:∵A1C=

∴|A1C|2=(-AA1+AB+AD)2=|AA1|2+|AB|2+|AD|2-2

∴|A1C|=

3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=2,则BA1在AC

A.-22 B.-2

C.-12 D.-

答案:D

解析:∵BA

且BA·

∴BA1·

又|AC|=2,|BA1|=

∴cosBA1,AC=

∴BA1在AC上的投影向量为|BA1|cosBA

4.如图,直二面角