人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册课后习题 第1章空间向量与立体几何 1.4.1第2课时 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 (3).docVIP

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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

第2课时用空间向量研究直线、平面的垂直关系

课后·训练提升

基础巩固

1.已知直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于()

A.-2 B.2

C.6 D.10

答案:D

解析:因为l1⊥l2,所以a⊥b,所以a·b=0,即-6-4+m=0,解得m=10.

2.已知平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),若α⊥β,则x的值为()

A.10 B.-10

C.12 D.-

答案:B

解析:因为α⊥β,所以a⊥b,所以a·b=-x-2-8=0,解得x=-10.

3.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为()

A.(1,0,-2) B.(1,0,2)

C.(-1,0,2) D.(2,0,-1)

答案:C

解析:由题意知,AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),AP=(x,-1,z).

因为PA⊥平面ABC,

所以AP·AB

故点P的坐标为(-1,0,2).

4.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,以下结论正确的是()

A.直线A1D与AB1垂直

B.直线A1D与BC1垂直

C.直线A1D与BD1平行

D.三棱锥A-A1CD的体积为16a

答案:BD

解析:以D为原点,以DA,DC,DD1的方向分别为x

建立空间直角坐标系(图略),

则A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a),B(a,a,0),D1(0,0,a).

对于A,∵A1D=(-a,0,-a),

∴A1D·AB1=-a2≠0,∴直线A1D与AB1

对于B,∵BC1=(-a,0,a),∴A1D·

∴直线A1D与BC1垂直,故B中结论正确;

对于C,∵BD1=(-a,-a,a),∴A1D·

∴直线A1D与BD1垂直,故C中结论不正确;

对于D,三棱锥A-A1CD的体积为13×12a2·a=16a3,故D中结论正确

故选BD.

5.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(

A.平行 B.垂直

C.相交但不垂直 D.位置关系不确定

答案:B

解析:如图,以D为原点,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

设AD=1,则D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),

所以DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0).

因为PQ·DQ=0,

所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC,

又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.

又PQ?平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.

6.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与OQ垂直,则x的值为.?

答案:π

解析:由题意得OP⊥OQ,∴

∴cosx·(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.

∴2cos2x-cosx=0,解得cosx=0或cosx=12

又x∈[0,π],∴x=π2或x=π

7.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为.?

答案:-

解析:由已知得,AB=(-1,1,0).

设M(x,y,z),则AM=(x,y,z-1),CM=(在直线AB上,∴AB与AM

∴存在实数λ,使得AM=λAB.

∴⊥AB,∴CM⊥AB,∴

即-(x-1)+(y-2)=0.②

由①②得,的坐标为-1

8.在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若OP与平面ABC垂直,且OP=21,则点P的坐标为.?

答案:(-2,4,1)或(2,-4,-1)

解析:依题意,AB=(-1,-1,2),AC=(1,0,2).

设点P的坐标为(x,y,z),则OP=(x,y,z).

∵OP与平面ABC垂直,

∴OP

∵OP=21,∴|OP|=x2+y2+z2

故点P的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).

9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.

证明:如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

设PA=h,则A(0,0,0),C(4