猜题06 第20题 圆锥曲线（题型归纳）（原卷版）.docVIP

猜题06第20题圆锥曲线（题型归纳）

目录：一、弦长、中点弦问题；二、面积问题；三、范围问题；四、定点、定值问题

一、弦长、中点弦问题

一、解答题

1．已知双曲线过点，且的渐近线方程为．

(1)求的方程；

(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．

①求四边形面积的取值范围；

②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

2．已知椭圆，分别为左右焦点，O为坐标原点，过O作直线交椭圆于C，D两点，若周长的最小值为6，面积的最大值为.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线交椭圆E于A，B两点，

①若直线的斜率为且的面积为，求直线方程；

②若直线与x轴交于M点，当点A在x轴的上方时，有，且直线与圆相切于点N，求的长.

3．已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程；

（3）如图，四边形是矩形，椭圆相切于点，与椭圆相切于点，与椭圆相切于点，与椭圆相切于点求矩形面积的取值范围．

4．如图，从椭圆()上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP，.其中F2为椭圆的右焦点.

（1）求椭圆的方程E；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D且OC⊥OD？若存在，写出该圆方程，并求CD的取值范围；若不存在，说明理由.

5．如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．

（Ⅰ）设线段的中点为；

（ⅰ）求证：平行于轴；

（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；

（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于、两点，交于、两点，且.

(1)求的离心率；

(2)设是与的公共点，若，求与的标准方程；

(3)直线与交于、，与交于、，且在直线上按、、、顺序排列，若，求.

7．1.已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长等于1

(1)求椭圆的方程；

(2)直线交椭圆于A，B两点，且AB被直线平分.

①若的面积等于1（O是坐标原点），求l的方程；

②椭圆的左右焦点分别是，，，的重心分别是，，当原点O落在以CD为直径的圆外部时，求面积的取值范围.

8．已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)设抛物线上的点在其准线上的射影分别为，若的面积是的面积的2倍，求线段中点的轨迹方程.

(3)设过点的直线交抛物线于两点，斜率为的直线与直线轴依次交于点且，求直线在轴上截距的范围.

9．已知椭圆,的离心率相同.点在椭圆上，、在椭圆上.

(1)若求点的轨迹方程；

(2)设的右顶点和上顶点分别为、，直线、分别是椭圆的切线，、为切点，直线、的斜率分别是、，求的值；

(3)设直线、分别与椭圆相交于、两点，且若是中点，求证：、、三点共线（为坐标原点）.

二、面积问题

一、解答题

1．已知椭圆的离心率为.且经过点是椭圆上的两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与的斜率之积为（为坐标原点），点为射线上一点，且，若线段与椭圆交于点，设.

（i）求值；

（ii）求四边形的面积.

2．已知椭圆C：的上顶点为B，O为坐标原点，为椭圆C的长轴上的一点，若，且△OPB的面积为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为，，且，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标，求出△AMN面积的最大值．

3．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1，为双曲线上任意一点（），过点的直线与圆相切于两点

(1)求双曲线的标准方程

(2)求点所在的直线方程

(3)双曲线是否存在点，，使得的面积最大，若存在求出点的坐标，及的最大面积，若不存在，请说明理由.

4．已知过点的椭圆的离心率为.如图所示，过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点A作，垂足为.

(1)求四边形为坐标原点的面积的最大值；

(2)求证：直线过定点，并求出点的坐标.

5．已知平面直角坐标系内一椭圆，记两焦点分别为，，且.

(1)求的方程；

(2)设上有三点、、S，直线、分别过，，连接.

①若，求的面积；

②证明：当面积最大时，必定经过的某个顶点.

6．已知椭圆的焦距为分别为左右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知结论：若点