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《实数指数幂》教学设计

教学设计

一、复习回顾

1.复习分数指数幂的概念.

（1）一般地，如果是正整数，那么：当有意义且时，规定

；

当没有意义时，称没有意义.

（2）对于一般的正分数（为既约分数），也可作类似（1）的规定，即

.

注意：以后如果没有特别说明，一般总认为分数指数中的指数都是既约分数.

（3）若是正分数，有意义且时，规定.

（4）规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

2.复习有理数指数幂的运算性质.

我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂），一般情况下，当与都是有理数时，有运算法则：

，

，

.

二、导入新课

思考1：我们知道，那么的大小如何确定？

的不足近似值

的不足近似值

9.518269694

1.4

9.672699729

1.41

9.735171039

1.414

9.738305174

1.4142

9.738461907

1.41421

9.738508928

1.414213

9.738516765

1.4142135

9.738517705

19.738517736

1.414213562

的过剩近似值

的过剩近似值

1.5

111.42

9.829635328

1.415

9.750851808

1.4143

91.41422

9.738618643

1.414214

9.738524602

1.4142136

9.738518332

19.738517862

1.414213563

9.738517752

思考2：观察上面表格，是一个确定的数吗？

学生思考，体会“无限逼近”思想.

结论：一般地，当且是无理数时，都是一个确定的实数.

因此，当，为任意实数时，可以认为实数指数幂都有意义.

思考3：有理指数幂的运算法则适用于无理数指数幂吗？

由于整数指数幂、分数指数幂及无理指数幂都有意义，因此，可以证明，对任意实数和，类似前述有理指数幂的运算法则仍然成立，即

（1）；

（2）；

（3）.

注：（1）可以转化为第（1）条法则.

（2），因此，可以归入上述第（3）条法则.

三、例题分析

例1化简（式中字母均为正实数）：

（1）；（2）.

解（1）.

（2）.

教师进行方法总结：含字母的幂的运算是高中数学中基本运算之一，可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号.

巩固练习

化简：

（1），，；

（2）.

解（1）原式.

（2）原式.

例2计算下列各式的值：

（1）；（2）.

解：（1）

.

（2）.

设计意图：进一步理解实数指数幂的运算法则.

教师进行方法总结：实数指数幂的运算法则类似于前面学过的整数指数幂和分数指数幂的运算法则.

巩固练习

求下列各式的值：

（1）；（2）.

解（1）.

（2）.

例3化简下列各式：

（1）；（2）.

解（1）原式.

（2）原式.

设计意图：借用题目中的整体变换关系，进行整体等价转换，训练抽象思维.

教师进行点拨：注意题目（2）中的分子的完全平方特点，注意分子、分母约分的等价性.

四、小结与作业

1.小结.

（1）化简含有根式的式子，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.

（2）熟练掌握实数指数幂的运算法则，这也是化简的基础.

2.作业.

教材第8～9页练习A第3，4题，练习B第1，2题.

板书设计

第2课时实数指数幂

一般地，当，为任意实数时，可以认为实数指数幂都有意义.

一般情况下，当与是实数时，有运算法则：

；

；

.

例1

例2

例3

小结

作业

教学研讨

对于无理指数幂，教学中可通过无理数的不足近似值和过剩近似值两个序列无限逼近的思想，说明当为无理数时都有意义，这样就由有理指数幂推广到了实数指数幂.本课时的主要落脚点还是应该放在实数指数幂的相关计算上，要让学生掌握计算的方法和技巧.