2023-2024学年北京市延庆区第一中学高二上学期10月月考数学试卷含详解.docxVIP

2023-2024学年度第一学期高二数学月考

2023.10

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40.0分）

1.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（）

A. B.复数z的共轭复数是

C.的实部为 D.

2.复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A. B.的共轭复数为

C.的实部与虚部之和为1 D.在平面内的对应点位于第一象限

3.已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（）

A.复数z的模为 B.复数z的共轭复数为

C.复数z的虚部为 D.复数z在复平面内对应的点在第一象限

4.已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数（）

A.2 B.3 C.4 D.5

5已知空间中三点，，，则（）

A.与是共线向量

B.的单位向量是

C.与夹角的余弦值是

D.平面的一个法向量是

6.正四面体相邻两个面所成的二面角的余弦值为（）

A. B. C. D.

7.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为

A. B. C. D.

8.在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）

A. B. C. D.

9.在二面角中，，，，，且，，若，，，则二面角的余弦值为（）

A. B. C. D.2

10.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥为阳马，且，底面．若是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（）

A B.

C. D.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25.0分）

11.若复数z满足（其中是虚数单位），复数z的共轭复数为，则下面结论：①；②z的实部是2；③z的虚部是1；④复数在复平面内对应的点在第一象限，其中正确的个数是______．

12.设，向量，且，则___________．

13.在边长为2的正方体中，为棱的中点，则二面角的正切值是______.

14.在长方体中，二面角的大小为45°，直线与平面所成角的大小为30°，那么异面直线与所成角的余弦值是______.

15.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为_______.

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.已知复数，其中，虚数单位．

（1）当取何值时，为纯虚数；

（2）如果复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．

17已知函数.

（1）求的最小正周期及函数的单调增区间；

（2）当时，求的最大值和最小值.

18.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，.

（1）当时，求；

（2）当时，求及.

19.如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，且.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小.

20.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.

（1）求直线与所成角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

21.如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，_________.

（1）求的长度；

（2）在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求值；若不存在，请说明理由

从①；②平面这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答.

2023-2024学年度第一学期高二数学月考

2023.10

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40.0分）

1.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（）

A. B.复数z的共轭复数是

C.的实部为 D.

【答案】C

【分析】依题意可得，再按照复数代数形式的乘法运算、共轭复数的定义以及复数模的计算公式一一计算可得；

【详解】解：因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以，所以，，，，所以的实部为；

故选：C

2.复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A. B.的共轭复数为

C.的实部与虚部之和为1 D.在平面内的对应点位于第一象限

【答案】D

【分析】利用复数除法运算化简，结合复数的模、共轭复数、实部和虚部、复数对应点的坐标等知识确定正确选项.

详解】，

所以：，A选项错误.

，B选项错误.

的实部与虚部之和为2，C选项错误.

对应点为，在第一象限,，D选项正确.

故选：D

3.已知i为