2024-2025学年广东省部分学校高二（上）第一次联考数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年广东省部分学校高二（上）第一次联考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a=(?2,1,3),b=(?1,1,1)，若a⊥(a?λ

A.?2 B.?143 C.73

2.点P是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1

A.[?1,?14] B.[?12,?

3.已知向量a=(4,3,?2),b=(2,1,1)，则向量a在向量b上的投影向量c

A.(3,32,32) B.(

4.在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A

A.23 B.2 C.2

5.已知四棱锥P?ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，CMCB=13，PN=ND，设AB=a，AD=b，AP=

A.a+13b+12c

6.在四面体OABC中，空间的一点M满足OM=14OA+16

A.12 B.13 C.512

7.已知a=(1?t,2t?1,0),b=(2,t,t)，则|b

A.5 B.6 C.2

8.“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球(与其四个面均相切的球，图中作为球O).如图：已知粽子三棱锥P?ABC中，PA=PB=AB=AC=BC，H、I、J分别为所在棱中点，D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE或平面HIJ切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为(????)

A.239π B.318

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为BB

A.DB1=3

B.向量AE与AC1所成角的余弦值为155

C.平面AEF的一个法向量是(4,?1,2)

10.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1

A.当λ=1时，点P在棱BB1上B.当μ=1时，点P到平面ABC的距离为定值

C.当λ=12时，点P在以BC，B1C1的中点为端点的线段上

11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达?芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片达样的达?芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则(????)

A.CG=2AB+2AA1

B.直线CQ与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为23

C.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，点N为CC1

13.四棱锥P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=1，AB=3，G是△ABC的重心，则PG与平面PAD所成角θ的正弦值为______．

14.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若AB=25m，BC=10m，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图，在长方体ABCD=A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．

(1)当点E在棱AB的中点时，求平面D1EC与平面

16.(本小题15分)

如图所示，直三棱柱ABC?A1B1C中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

(1)求BN的长；

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5．

(1)求直线PB与平面PCD所成角的正切值；

(2)在PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP

18.(本小题17分)

如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD=O1，AC∩MN=G.沿MN将△CMN翻折