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高考

数学

专题十一概率与统计

11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差

基础篇

考点离散型随机变量及其分布列、均值与方差

1.离散型随机变量的分布列

1)一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X

(ω)与之对应,我们称X为随机变量,可能取值为有限个或可以一一列举的

随机变量,我们称为离散型随机变量.

2)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x,x,…,x,我们称X取每一个

12n

值x的概率P(X=x)=p,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.用表格表iii

示如表:

Xx1x2…xn

Pp1p2…pn

其中,p≥0,i=1,2,…,n;p+p+…+p=1.

i12n

2.两点分布

如果随机变量X的分布列为

X10

Pp1-p

则称离散型随机变量X服从两点分布或0—1分布.

3.超几何分布

一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n

件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=

*

 ,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N

+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机

变量X服从超几何分布.

4.离散型随机变量的均值与方差

1)均值定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为

Xx1x2…xi…xn

Pp1p2…pi…pn

则E(X)=xp+xp+…+xp= xp为随机变量X的均值或数学期望,它反映了

1122nnii

离散型随机变量取值的平均水平.

222

2)方差定义:D(X)=(x-E(X))p+(x-E(X))p+…+(x- = (x-E(X))p

1122nii

为随机变量X的方差, 为随机变量X的标准差,记作σ(X).它们都可以

度量随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.

3)性质:E(aX+b)=aE(X)+b;

2

D(aX+b)=aD(X),其中a,b∈R;

22

D(X)=E(X)-E(X)].

4)两点分布的均值与方差

E(X)=p,D(X)=p(1-p