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理论拔高-容斥原理+计数模型

+笔记）

（讲义

理论拔高-容斥原理+计数模型（讲义）

第一节容斥原理

1.两集合容斥原理公式

A+B-A∩B总数-都不

2.三集合容斥原理公式

（1）标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C总数-都不

（2）非标准型：A+B+C-满足两项-满足三项*2总数-都不

（3）常识型：满足一项+满足两项+满足三项总数-都不

3.图示法

画圆圈，标数据，从里向外，不重不漏

一、容斥原理及基本公式

【例1】（

2023广东）某单位共有40名职工，其中有25名职工参加了乒乓

球队，15名职工参加了羽毛球队。如果有10名职工同时参加了乒乓球队和羽毛

球队，则两个球队都没有参加的职工有（）名。

A.0B.5

C.10D.15

1

【例2】（2021四川）某市共发行甲、乙、丙三种报纸。已知该市订购这三

种报纸的人数分别为45万、32万和38万。其中有5万人同时订购甲、乙两种

报纸，有8万人同时订购甲、丙两种报纸，有3万人同时订购乙、丙两种报纸，

有1万人同时订购甲、乙、丙三种报纸，则该市订购报纸的人数为（）万人。

A.115B.114

C.100D.99

【例3】（2023湖北）某高新技术园区对园区内的部分企业的专利申请情况

进行了调查，在接受调查的企业中，申请了发明专利的有46家，申请了实用新

型专利的有69家，申请了外观设计专利的有25家，三类专利都申请了的有12

家，申请了其中两类专利的有39家，三类专利都没申请的有16家，那么接受调

查的企业有（）家。

A.89B.93

C.106D.111

【例4】（2023天津）华通公司邀请专业教练为员工开设了运动培训课程，

市场部共有62名员工，都参加了运动培训课程，48人参加羽毛球课，35人参加

乒乓球课，28人参加网球课，其中以上三种运动培训课程都参加的有12人，则

有（）人只参加了一种运动培训课程。

A.19B.22

C.25D.28

【例5】（2020深圳公务员）某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提

供不限量的香蕉和香肠以研究其食性。结果表明，90%的狒狒有进食，其中吃香

蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量的3倍，而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒

数量的2/3，则未进食的狒狒是只吃香蕉的狒狒数量的（）。

A.1/5B.3/10

C.2/13D.4/15

2

二、容斥原理结合公倍数与公约数

【例6】（2021上海）某饭店搞营业促销活动，从午市开业起，按照顾客进

门先后顺序发放号码，凡是号码能被5或者9整除的，可送一份小礼品，最后一

共接待了387名顾客，问今日赠送小礼品多少份？（）

A.101B.110

C.112D.120

【例7】（2022安徽）某校组织新生入学抽查检测，学生编号为1、2、3、……、

1200，然后将编号为2的倍数的同学删除，再将编号为3的倍数的同学删除，最

后将编号为5的倍数的同学删除，请问还剩下多少名同学参