北师版高中数学必修第二册课后习题第6章 §6 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 (2).docVIP

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§6简单几何体的再认识

6.1柱、锥、台的侧面展开与面积

课后训练巩固提升

1.若圆台的上、下底面半径分别是1,3,它的侧面积是两底面面积和的2倍,则圆台的母线长是().

A.2 B.2.5 C.5 D.10

解析:S侧=π(r1+r2)l=2(πr12+πr22),

答案:C

2.如果圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是().

A.4πS B.2πS C.πS D.23

解析:设底面半径为r,则S=πr2,从而r=Sπ

∴底面周长为2πr=2πSπ

∴母线长为2πr.∴S侧=2πr·l=(2πr)2=2πSπ2=4π

答案:A

3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是().

A.1+2π2π B.1+4π4π C.1+2π

解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2πr,∴S表=2πr2+2πr·h=2πr2(1+2π).

又S侧=2πr·h=4π2r2,∴S表

答案:A

4.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥P-ABCD为阳马,底面ABCD是边长为2的正方形,有两条侧棱长为3,则该阳马的表面积为().

A.10+213 B.10+25

C.6+213 D.6+25

解析:如答图,由题意,可知PB=PD=3,AB=BC=CD=AD=2,PA⊥平面ABCD,

(第4题答图)

因为PA=32

所以表面积S=2S△PAB+2S△PBC+S正方形ABCD=2×12×25+2×12×2×3+22=10+2

答案:B

5.已知圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆,则圆锥的高是.?

解析:设圆锥的底面半径是r,则2πr=πR,

∴r=R2,∴圆锥的高h=R

答案:32

6.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是.?

解析:如答图①为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如答图②所示,由图知正方形的边长为22,其面积为8.

(第6题答图)

答案:8

7.已知正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2-9x+18=0的两根,其侧面积等于两底面积之和,则其侧面梯形的高为.?

解析:方程x2-9x+18=0的两个根为x1=3,x2=6.设侧面梯形的高为h,则12(3×4+6×4)·h=32+62,解得h=5

答案:5

8.已知圆柱有一个内接长方体AC1,长方体的体对角线长是102cm,圆柱的侧面展开平面图为矩形,此矩形的面积是100πcm2,求圆柱的底面半径和高.

解:设圆柱的底面半径为rcm,高为hcm,如答图所示,

(第8题答图)

则圆柱轴截面矩形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长,

所以(2r)2

9.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短距离为29,设这条最短路线与CC1的交点为N,求:

(第9题)

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;

(2)PC与NC的长;

(3)此棱柱的表面积.

解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,

其对角线长为92

(2)如答图,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P移动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.设PC=A=2.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,∴PC=P1C=2.

(第9题答图)

∵NCMA=P1C

(3)棱柱的表面积S=S侧+2S底=9×4+2×12×32×3