浙江省A9协作体2025届高三8月暑假返校联考 数学试题（含解析）.docx

浙江省A9协作体暑假返校联考

高三数学试题卷

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4．考试结束后，只需上交答题卷。

第Ⅰ卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，则（）

A． B． C． D．

2．设复数满足，则（）

A． B． C． D．

3．已知平面向量，若，则（）

A． B． C．2 D．

4．已知，则（）

A． B． C． D．

5．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

6．方程在的根的个数为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．一圆柱放置于底面直径和高都是2的圆锥内，其底面放在圆锥底面上，则圆柱体积最大为（）

A． B． C． D．

8．已知函数，且若，则（）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对分别记0分、2分、4分或0分、3分，有选错的得0分。

9．已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是（）

A．若，则 B．若，则

C． D．

10．三次函数叙述正确的是（）

A．函数可能只有一个极值点

B．当时，函数的图象关于点中心对称

C．当时，过点的切线可能有一条或者两条

D．当时，在点处的切线与函数的图象有且仅有两个交点

11．数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意。已知利用关系式和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程．如图，该曲线图象过点，则（）

A．

B．曲线经过点

C．当点在曲线上时，

D．当点在曲线上时，

第Ⅱ卷

三、填空题：

本题共3小题，每题5分，共15分。

12．双曲线的离心率为______．

13．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______．

14．嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪．杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或验算步骤。

15．（本题满分13分）在中，角所对的边分别为，且，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求边上中线的长．

16．（本题满分15分）已知三棱锥平面，为的中点，为延长线上一点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）当二面角余弦值大小为时，求的长．

17．（本题满分15分）已知椭圆的上顶点，点在椭圆上，斜率为的直线过点交椭圆于另一点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当的面积是时，求．

18．（本题满分17分）设函数．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）若函数的极小值点为，证明：；

（Ⅲ）若恒成立，证明：．

19．（本题满分17分）设为大于3的正整数，数列是公差不为零的等差数列，从中选取项组成一个新数列，记为，如果对于任意的，均有，那么我们称数列为数列的一个一数列．

（Ⅰ）若数列为，写出所有的一数列；

（Ⅱ）如果数列公差为，证明：；

（Ⅲ）记“从数列中选取项组成一个新数列为数列的一数列”的概率为，证明：．

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高三数学参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．答案：A．【解析】因为，所以，，故选A．

2．答案：C．【解析】因为，所以，，故选C．

3．答案：D．【解析】因为，所以，则，所以，故选D．

4．答案：B．【解析】因为，

所以，则，故选B

5．答案：A．【解析】因为函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，则，即，故选A．

6．答案：B．【解析】画出函数在同一坐标系内画出和图象，因为，所以与图象在区间上有三个不同的交点，即方程有三个不同的根．故选B．

7．答案：C．【解析】设圆柱的底面半径为，高为，由，则，所以，

因为，令，则，所以．故选C．

8．答案：D．【解析】由逆推得，

；