浙江省杭州第十四中学2024-2025学年高三上学期九月月考数学试题（原卷版）.docx

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杭十四中高三数学学科检测卷

注意事项：

1．本科目考试分试题卷和答题卷、考生须在答题卷上作答．

2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.已知a,b都是实数，那么“”是“ab”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知向量，，若，则实数的值为（）

A B.2 C. D.

4.已知定义在上的奇函数满足：的图象是连续不断的且为偶函数.若有，则下面结论正确的是（）

A. B.

C. D.

5.某网反随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）：．若该平台自媒体人的粉丝数（其中和分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法中正确的个数是（）

（1）这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0；

（2）这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04；

（3）这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8；

（4）用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135．

（附：若随机变量服从正态分布，则，）

A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知，则（）

A. B.

C. D.

7.现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（）

A180 B.240 C.288 D.300

8.已知函数，若，则的最小值为（）

A. B. C. D.1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知函数，给出下列四个选项，正确的有（）

A.函数最小正周期是

B.函数在区间上是减函数

C.函数的图象关于点对称

D.函数图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到

10.如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（）

A.异面直线AE与BC所成的角为 B.

C.平面平面CDE D.直线AE与平面BDE所成的角为

11.已知长轴长、短轴长和焦距分别为和的椭圆，点是椭圆与其长轴的一个交点，点是椭圆与其短轴的一个交点，点和为其焦点，．点在椭圆上，若，则（）

A.成等差数列 B.成等比数列

C.椭圆的离心率 D.的面积不小于的面积

第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分）

注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则__________.

13.已知复数z满足，则的取值范围为______．

14.定义：x表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则________，_______

四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知分别为三个内角的对边，且，．

（1）求及的面积S；

（2）若为边上一点，且，求的正弦值．

16.2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.

（1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；

（2）求离散型随机变量的分布列与期望.

17.已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）证明：．

18.已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求的方程；

（2）直线交于两点.

（i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；

（ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程.

19.给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为

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