2024全国高中数学联赛山东赛区预赛试卷（含解析）.docx

2024年全国高中数学联赛山东赛区预赛试卷

得分一.填空题(本题共10道小题，每题6分，共60分)

得分

1.使函数f(x)=√1*+21+k·3*的定义域为(-co,1)的所有实数k值是;

2.设椭左焦点为F,动点P在y轴上，直线PF交椭圆于M,N,向

2题图量PM=AMF,PN=A,NF(2,2∈R),则2+2=;3.正四棱锥P-ABCD中，M,N分别是PA,PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切是√2,则直线DM,AN夹角的余弦值是;

2题图

4.设数列{a≥2).则[a]=

5.设△ABC垂心H,外心o,外接圆半径为3,O|H|=1.记

3题图

BC=a,CA=b,AB=c.则a2+b2+c2=

6.设θ∈R满足cosθ为有理数.则使得cosnθ也是有理数的所有正整数n的集合是

7.口袋中有大小相同的6个红球，2个白球，从中一个一个摸球(不放回),直到2个白球都摸出，即停止摸球.则停止摸球后袋内剩红球个数的期望值是;

8.复数z?,z?在复平面上对应的点分别为P,P?且满足是纯虚数，3z2-2zz,+2z,2=0.则△POP,的面积等于

9.满足1+2!+3!+…+x!=y2的所有正整数对(x,y)=;

10.设x,y,z≥0,x+y+z=2.则f=x2y2+y2z2+z2x2+xyz最大最小值之和

得分二解答题(本题共4道小题，每题15分，共60分)

得分

11.设A,B为函数y=1-x2的图象上在y轴两侧的动点.求过A,B的切线与x轴围成三角形面积的最小值.

所有n∈N*恒成立的最小正整数b.12.已知数列{a,}满足：a,=1和8a+=a2+b(

所有n∈N*恒成立的最小正整数b.

得分

13.设双曲线P_1作斜率为1的直线交C

13.设双曲线

P_1作斜率为1的直线交C左支于Q_,Q_关于y轴对称点

得分

为P,记P(xn,yn).求证：(1)数列{2x。-y。}是等比数列；

(2)△P,P-P+2的面积为常数.

得分14.给定正整数n(1).且x,x?,…,x。∈[a,a+1](a∈R).

得分

求证：

15.附加题(10分，可计入总分)如图，在四边形ABCD中，已知AB≠AC,△ABC的内切圆O1与边BC切于E,如果∠AC=∠EDC,∠IAD=∠CED.证明：∠ADI=90°.

2024年全国高中数学联赛

山东赛区预赛试题参考答案一.填空题(本题共10道小题，每小题6分，共60分)

1.使函数f(x)=√1×+2×+k3×的定义域为(-co,1)的所有实数k值是

解：因1*+2*+k·3*≥0且g(x)在(-oo,l)为增函数，所

以g(x)≤g(1)=-1,故使1*+2*+k·3*≥0的解为(-01)的k=-1

2.设椭圆的左焦点为F,动点P在y轴上，直线PF交椭圆于M,N,向

量PM=AMF,PN=?NF,则实数λ+A?=,解：设M(x,y,N(0,p),则F(-√2,0),由PM=λMF一OM=

,代入椭圆得2+42+2-p2=0=Z+A?=-4.

3.正四棱锥P-ABCD中，M,N分别是PA,PB的中点，且侧面与底面所成二面角

的正切是v2,则直线DM、AN夹角的余弦值是解：取AB=2,则OP=OB=√2,PB=2,∠APB=60°,

DM.AN=(DA+AM)·(AB+BN)=DA.BN+AM.AB+AMEN

.由余弦定理得|DMP=ANP

=|AMP(5-4cos∠APB)=3,故

4.设数列{a,}满足(n≥2).则[a]=

解：

因1,所以[a,]=n.,[a?024]=2024.

5.设△ABC垂心H,外心o,外接圆半径为3,|OH=1.记

BC=a.CA=b.AB=c.则a2+b2+c2=

证明：如图，做直径BD,则AHCD是平行四边形.故

OH=Q+AH=OA+DC=Q+OB+OC1=|OFI2=

(QA+OB+C)2=3R2+2R2(cos∠BOC+cos∠COA+cos∠AOB)

=3R2+2R2-a2+2R2-b2+2R2-c2=81-(a2+b2+c2)→a2+b2+c2=80.

6.设θ∈R满足cosθ为有理数.则使得cosnθ也是有理数的所有正整数n的集合是

解：因cosθ∈Q=cos2θ=2cos2θ-1∈