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关于一个数论函数及其相关方程的探讨

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摘要:该文通过详细的分析论证，探讨了Euler函数与Smarandache可乘函数之间的关系，研究了方程的可解性，并得到了它的所有正整数解

论文关键词：欧拉函数,可乘函数,正整数,解

1,2,3...这些简单的正整数，从日常生活以至到尖端科学技术都是离不开的。在数学上，研究数的规律，特别是研究整数的性质的数学叫数论。数论与几何学一样，是最古老的数学分支；又是始终活跃着的前沿数学领域。数论是典型的纯粹数学，它又是日益得到广泛应用的新“应用数学”分支。数论中采用分析方法研究数的性质的分支叫解析数论。在数论研究中采用分析方法起源于欧拉的年代。欧拉用分析方法证明了欧拉恒等式，由此给出了“素数有无穷多个”的一个新证明。解析数论起源于对素数分布的研究，在对各种堆垒数论问题的研究中得到发展。

数论是数学的一个分支，大约在公元前600年，Pythagoras和他的门徒们对整数做过彻底的研究，他们最早以各种方法对整数进行分类：

偶数：2，4，6，8，10，12，14，….

奇数：1，3，5，7，9，11，13….

素数：2，3，5，7，11，13，17，19，…..

合数：4，6，8，9，10，12，14，….

素数是仅有约数1和自身的大于1的整数。除去1既不是素数也不是合数以外，不是素数的整数即为合数。我们知道，在数论中,对任意的正整数，能够唯一的写成这样的表达式，称为的标准素因子分解式。其中，是的全部素因子，是不小于的整数（参见文献2）。对于正整数,Euler函数定义为不大于且与互素的正整数的个数。Smarandache可乘函数定义为：数学小论文

=

本文主要目的是利用初等方法及解析方法研究方程的可解性，并给出该方程的所有正整数解。即证明下面的定理：对任意正整数，方程共有个正整数解，。

二引理是任意给定的正整数，则有.

证明：由于是正整数，故由欧拉函数的定义及性质，我们有（互质）（见参考文献2）。从而有下面的等式.由的定义知等于从减去中与不互质的数的个数。由于是质数，故等于从减去中被整除的数的个数。而中被整除的数的个数是（见参考文献3），故=-。于是有。

三定理对任意正整数，方程共有个正整数解，。

证明:（1）当是方程*的解；

（2）当时,不妨设的全部素因子，

下面把分为两种情况进行讨论：

A：若,此时，由引理，，=。若方程成立，应有即有的一个解。

B：若此时，由引理，

=

由于当时，时，，

即，此时方程无解。故且若此时，即此时方程无解。

基于此,（2）变为此时,，

下面就的取值情况进行分析：

a.当时，若即方程无解；若即方程无解。

b.当时，，若是方程的一个解;若方程无解；若故方程无解。

c.当若方程成立，则有是方程的一个解。

d.当若方程成立，则有方程均无解。

四结论综上所述,方程有且仅有个正整数解，分别是。本结论对数论中算术函数的均值估计问题的进一步的研究有一定的帮助。均值估计是解析数论的只要研究课题之一，是研究各种数论问题不可缺少的工具。因而在这一领域取得任何实质性的进展都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用。

参考文献：

1.F.Smarandache,OnlyProblems,NotSolutions,Chicago,XiquanPublishingHouse.1993

2.潘承洞潘承彪初等数论北京北京大学出版社1992

3.潘承洞潘承彪初等数论北京高等教育出版社2003

4.华罗庚数论导引北京科学出版社1979

5.ZhangWenpeng,ReseachonSmarandacheproblemsinnumbertheory,HexisPublishHouse,2004,1-4

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-全文完-