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第五节解三角形
第1课时余弦定理、正弦定理
【课标解读】
【课程标准】
借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.
【核心素养】
数学建模、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
本节内容是新高考卷的必考内容,考查正、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用,同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查.
预测
预计高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,与三角函数的图象及性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.正弦定理
条件
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径
内容
asinA=bsinB
变形
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=
微点拨已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.
2.余弦定理
条件
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c
内容
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2cacosB;
c2=a2+b2-2abcosC
变形
cosA=b2
cosB=c2
cosC=a
3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=
bsinA
bsinA
ab
a≥b
ab
a≤b
解的
个数
一解
两解
一解
一解
无解
4.三角形常用面积公式
(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高)
(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA
(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径)
常用结论
在△ABC中,常有以下结论:
(1)A+B+C=π.
(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(3)ab?AB?sinAsinB,cosAcosB.
(4)三角形中的三角函数关系
sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;
tan(A+B)=-tanC;sinA+B2
cosA+B2
(5)三角形中的射影定理:在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
3
2
4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()
提示:(1)已知三角时,不可求三边.
(2)在△ABC中,若sinAsinB,则AB.()
(3)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.()
提示:(3)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(4)当b2+c2-a20时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a20时,△ABC为钝角三角形.()
提示:(4)当b2+c2-a20时,△ABC不一定为锐角三角形.
答案:(1)×(2)√(3)×(4)×
2.(应用正弦定理求角时漏解)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,则B等于()
A.30° B.45°
C.30°或150° D.45°或135°
【解析】选D.由正弦定理asinA=bsinB得1sin30°=2sinB,sinB=22
又因为0°B150°,所以B=45°或135°.
3.(必修第二册P48练习T2·变条件)在△ABC中,a=6,b=63,A=30°,则最长边c=.?
【解析】在△ABC中,a=6,b=63,A=30°,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
36=108+c2-123×32c
化简得c2-18c+72=0,解得c=6或c=12,
因为c是最长的边,所以c=12.
答案:12
4.(2023·上海高考)已知△ABC中,角A,B,C所对的边a=4,b=5,c=6,则sinA=.?
【解析】a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cosA=b2+c2-
又因为A∈(0,π),所以sinA0,
所以sinA=1-cos2A
答案:7
【核心考点·分类突破】
考点一利用正、余弦定理解三角形
1.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是()
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.有
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