人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 1.2.5 空间中的距离.pptVIP

第一章1.2.5空间中的距离

课程标准会用向量方法求两点之间、点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、平面与平面之间的距离及它们之间的相互转化,能用法向量求距离.

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基础落实·必备知识全过关

知识点1空间中点与点、直线、平面的距离借助图形理解公式的由来并记忆(1)空间中两点之间的距离(2)点到直线的距离n0是直线l的单位方向向量,A∈l,则点P到直线l的距离

(3)点到平面的距离一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离

过关自诊1.若已知点A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段AB的长为()A

2.已知空间中三点A(1,0,0),B(2,1,-1),C(0,-1,2),则点C到直线AB的距离为()A

3.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为()D

知识点2相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离两类距离都可以转化为点到面的距离(1)如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为d=.?(2)如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为d=.?

名师点睛解决立体几何问题的三种方法(1)综合方法:以逻辑推理作为工具解决问题.(2)向量方法:利用向量的概念及其运算解决问题.(3)坐标方法:建立直角坐标系,利用坐标表示几何对象或向量,通过运算解决几何问题.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离等于直线l上的点到平面α的距离.()(2)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.()√√

2.已知平面α∥平面β,直线l?α,α与β之间的距离为d,下列说法中正确的有()①β内有且仅有一条直线与l的距离为d;②β内所有的直线与l的距离都等于d;③β内有无数条直线与l的距离为d;④β内所有直线与α的距离都等于d.A.① B.② C.①④ D.③④D解析在直线l上任取一点O,过O作OA⊥β于A,在平面β内,过点A且与l不平行的所有直线与l的距离都是d,否则不一定是d,所以①②错误.故选D.

重难探究·能力素养全提升

探究点一求两点间的距离【例1】已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求点B,D之间的距离.解(方法一)过点D和点B分别作DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,则由已知条件可知AC=5,

∵平面ADC⊥平面ABC,DE⊥AC,平面ADC∩平面ABC=AC,∴DE⊥平面ABC.又BF?平面ABC,

(方法二)如图,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F,过点E作FB的平行线EP,易知EP,EC,ED两两垂直.以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

规律方法用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法,设

变式训练1如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是()A.2C

解析(方法一)如图,以线段AC中点O为原点,分别以OB,OC,OF为x轴、y

(方法二)设AC中点为G,连接GE,GF.在Rt△FGE中,|EF|2=|FG|2+|GE|2=4+1=5,∴EF=.

探究点二求点到直线的距离【例2】如图,在空间直角坐标系Axyz中,有长方体ABCD-ABCD,AB=1,BC=2,AA=3,求点B到直线AC的距离.

解因为AB=1,BC=2,AA=3,所以A(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0),

规律方法求点到直线的距离在特定的几何结构中还可以直接根据定义用平面几何知识解决或用体积法解决,但这两类解法技巧性强.用向量法就避免了这一构造技巧,但要注意在选取方向向量时要用上几何体中的已知点,然后用向量计算公式解决.

变式训练2如图,六面体ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若P在正方体C

解析如图,以A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

探究点三求点到平面的距离【例3】如图,在四棱锥P-ABCD中,正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)