人教B版高中数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 9.1.1 第2课时 正弦定理的应用.ppt

9.1.1第2课时正弦定理的应用第九章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题.4.提升逻辑推理和数学运算素养.

自主预习新知导学

正弦定理的应用2.能够应用正弦定理求解的三角形问题有哪几种类型?提示:(1)已知两角和一边解三角形;(2)已知两边和其中一边的对角解三角形.

3.在△ABC中,已知B=30°,c=4,b=2,解此三角形.

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)在△ABC中,若sinAsinB,则ab.()(2)在△ABC中,有sinA=cos(B+C).()(3)在△ABC中,必有absinC=acsinB.()√×√×

合作探究释疑解惑

探究一三角形解的个数【例1】(1)在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定(2)在△ABC中,a=4,b=,A=45°,则三角形的解的个数是()A.0 B.1 C.2 D.不确定答案:(1)B(2)B

延伸探究本例(2)变为:在△ABC中,a=x,b=,A=45°,若三角形有两解,求x的取值范围.

反思感悟已知三角形两边和其中一边的对角,求三角形解的个数.若已知a,b及角A,解的情况如下:分类A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a=bsinA②a≥bbsinAababsinAaba≤b解的情况一解两解无解一解无解

【变式训练1】不解三角形,判断下列说法是否正确.(1)a=7,b=14,A=30°,有两解;(2)a=30,b=25,A=150°,有一解;(3)a=6,b=9,A=45°,有两解;(4)a=9,b=10,A=60°,无解.解:(1)a=bsinA,有一解,故原说法错误.(2)A90°,ab,有一解,说法正确.(3)absinA,无解,故原说法错误.(4)babsinA,有两解,故原说法错误.

探究二利用正弦定理证明恒等式分析:观察等式的特点,有边有角要把边角统一,为此利用正弦定理将a2,b2,c2转化为sin2A,sin2B,sin2C.

所以,原式左边=4R2(cosB-cosA+cosC-cosB+cosA-cosC)=0=右边.所以等式成立.反思感悟利用正弦定理证明恒等式,既要用到三角形中特有的恒等变形公式,又要用到任意角的三角函数恒等变形公式,两者结合起来,灵活运用.

探究三正弦定理与三角函数的综合问题分析:(1)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为B的三角函数式求解;(2)利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式求sinC的值.

反思感悟正弦定理与三角函数相结合的综合问题主要涉及正弦定理与三角恒等变换的综合,先利用正弦定理求得相关角(或其正弦值),再利用同角三角函数的基本关系式与和、差、倍、半角等公式求解其他问题.

【变式训练3】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

【思想方法】分析:(1)由正弦定理,将边化为角,代入整理可得tanA,进而求得A的大小;(2)由于已知b与B的范围,结合(1)将c用tanB表示,再求c的取值范围.

反思感悟在解三角形时,常用正弦定理“化边为角”或“化角为边”,从而发现三角形中各元素之间的关系,因此要理解并领悟转化与化归的数学思想,以便应用于要解决的问题中.

随堂练习

1.已知△ABC中,b=30,c=15,C=26°,则此三角形解的情况是()A.有一解 B.有两解C.无解 D.无法确定答案:B解析:∵b=30,c=15,C=26°,∴cbsinC,又cb,∴此三角形有两解.

答案:A

解析:如图,设BC边上的高线为AD,则BC=3AD,DC=2AD,

答案:30°解析:由正弦定理得,a∶b=sinA∶sinB,

本课结束