人教B版高中数学必修第四册精品课件 第十一章 立体几何初步 11.2 平面的基本事实与推论.ppt

;内容索引;;自主预习新知导学;一、空间中关于平面的基本事实(公理)

1.要将一张画牢固地钉在墙面上,至少要钉几个钉子?

提示:三个,且不在同一条直线上.

2.若把一条直木棒的两个端点放在一个面内,木棒上的其他点一定在这个面内吗?

提示:一定.

3.两个平面能否只有一个或几个公共点?

提示:不能.;4.(1)点与直线的基本事实:

①连接两点的线中,线段最短;

②过两点有一条直线,并且只有一条直线.

(2)空间中关于平面的基本事实;项目;5.已知△ABC的边AB,BC在平面α内,则边AC平面α内.(填“在”或“不在”)?

答案:在;二、平面的基本事实的推论

1.经过一条直线有多少个平面?两条相交直线呢?两条平行直线呢?

提示:无数;一个;一个.

2.(1)推论1:经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面.

(2)推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.

(3)推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

3.经过两条直线l1与l2,有多少个平面?

解:当l1∥l2或l1与l2相交时,有且只有一个平面;当l1与l2异面时,无平面.;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)三条平行线可以确定一个平面.()

(2)圆上任意三点确定一个平面.()

(3)四边形是平面图形.()

(4)两条相交直线可以确定一个平面.();合作探究释疑解惑;;分析:首先弄清正方体中点、线、面的关系,再结合平面的基本事实、推论解答.;⑤正确.若l与m相交,则交点是两平面的公共点,而直线CD为两平面的交线,所以交点一定在直线CD上.

⑥正确.理由同④.;【变式训练1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱CC1和AA1的中点,试说明平面BED1F与平面ABCD相交,并画出这两个平面的交线.;解:∵B∈平面ABCD,B∈平面BED1F,

∴平面BED1F∩平面ABCD≠?.

∵D1F与AD不平行,

∴延长D1F,DA,设它们相交于P.

∵D1F?平面BED1F,

∴P∈平面BED1F.

又AD?平面ABCD,

∴P∈平面ABCD.

则P∈平面BED1F∩平面ABCD.

连接PB,从而PB为平面ABCD与平面BED1F的交线,如图所示.;;证明:如图,连接AC,A1C1.

∵O是BD的中点,

∴O是AC的中点,即O∈AC.

∴O∈平面ACC1A1.

∵P∈AC1,∴P∈平面ACC1A1.

∴A1,P,O都在平面ACC1A1内,

又A1,P,O都在平面A1BD内,

∴A1,P,O都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上,即A1,P,O三点共线.;1.证明多点共线问题的两种常用方法

(1)首先找出两个平面,然后证明这三个点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3,这些点都在交线上.

(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另外的点也在这条直线上.

2.空间中证明三线共点的两种常用方法

(1)先确定两条直线交于一点,再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点,第三条直线是这两个平面的交线,从而该点在它们的交线上,得到三线共点.

(2)先将其中一条直线看作是某两个平面的交线,证明该交线与另外两条直线分别交于一点,再证这两点重合,从而得到三线共点.;【变式训练2】已知△ABC在平面α外,它的三边所在的直线分别交平面α于点P,Q,R(如图),求证:P,Q,R三点共线.;证法一:∵AB∩α=P,

∴P∈AB,P∈平面α.

又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.

∴由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证点Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.

又两相交平面的交线有且只有一条,

∴P,Q,R三点共线.;证法二:∵AP∩AR=A,

∴直线AP与直线AR确定平面APR,

又AB∩α=P,AC∩α=R,

∴平面APR∩平面α=PR.

∵B∈平面APR,C∈平面APR,

∴BC?平面APR,

又Q∈直线BC,∴Q∈平面APR,

又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.;;证明:∵a∥b,∴a,b确定一个平面α,

∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α,∴l?α.

又a∥c,∴a,c确定一个平面β.同理可证,l?β,∴平面α与平面β都包含直线a与直线l.

∵过两条相交直线a,l有且只有一个平面,故α与β重合,即直线a,b,c,l共面.;证明点、线共面问题的常用方法

(1)先由部分点、线确定一个平面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”.

(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”.

(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.;【变式训练3】已