初等数论-第一章-整除5-7.pptVIP

§5算术根本定理整数分解唯一性定理也称算术根本定理,在给出并证明该定理前,先介绍预备定理.定理假设p为素数,那么a不能被p整除当且仅当:(p,a)=13/4/202417:25

定理1设a1,a2,…,an都是正整数,且p是素数.假设p|a1a2…an,那么至少有一个ar,使得p|ar,其中1≤r≤n.证明假设ai不能被p整除,1≤i≤n.从p是一素数和定理得到(p,a1)=(p,a2)=…＝(p,an)=1.所以由定理5推论得到(p,a1a2…an)=1,这与题设p|a1a2…an矛盾,故必有一ar,使得p|ar,其中1≤r≤n.3/4/202417:25

推论设p1,p2,…,pn和p都是素数,n≥2.假设p|p1p2…pn,那么至少有一个pr,使得p=pr.证明由p|p1p2…pn和定理1知,至少存在一个pr,使得p|pr.由于pr是素数,故它只有二个正因数1和pr.由p≠1和p|pr,所以:p=pr.3/4/202417:25

定理2(整数分解唯一性定理)每个大于1的正整数a均可分解成有限个素数之积,并且假设不计素因数的次序,其分解是唯一的.证明先证分解式的存在性.唯一性.当a=2时,分解式显然是唯一的.现设比a小的正整数其分解式均是唯一的.考虑正整数a,假设a有两个分解式a=plp2…pk和a=q1q2…ql,其中pl,p2,…,pk和q1,q2,…,ql都是素数.3/4/202417:25

于是p1|q1q2…ql,根据定理1知必有一qi,,使得p1|qi，不妨令i=1,即p1|q1,显然p1=q1.令a’=a/p1,那么a’=p2p3…pk,a’＝q2q2…ql.假设a’=1,那么a=p1=q1,即a’的分解式唯一.假设a’＞1,注意到a’a,从而由归纳假设知,a’的分解式是唯一的.因此k=l,并且p1=q1,…,pk=qk,再由p1=ql,知a分解式也是唯一的.3/4/202417:25

假设将a的分解式中相同素因数合并为它的幂数,那么任意大于1的整数a只能分解成一种形式:(2)p1p2…psn≥1,其中p1,p2,…,ps是互不相同的素数,,,…,是正整数.并称其是a的标准分解式.3/4/202417:25

推论3使用式(2)中的记号，有(ⅰ)d是a的正因数的充要条件是d=(3)ei?Z，0≤ei≤?i，1≤i≤s；(ⅱ)n的正倍数m必有形式m=M，M?N，?i?N，?i??i，1≤i≤s。3/4/202417:25

推论设正整数a与b的标准分解式是其中pi(1≤i≤k)，qi(1≤i≤l)与ri(1≤i≤s)是两两不相同的素数,?i,?i(1≤i≤k),?i(1≤i≤l)与?i〔1≤i≤s〕都是非负整数，那么(a,b)=，?i=min{?i,?i},1≤i≤k，[a,b]=，?i=max{?i,?i}，1≤i≤k。3/4/202417:25

推论4设正整数a与b的分解式是其中p1,p2,?,ps是互不相同的素数，?i，?i〔1≤i≤k〕都是非负整数，那么3/4/202417:25

推论5设a，b，c，k是正整数，ab=ck，(a,b)=1，那么存在正整数u，v，使得a=uk，b=vk，c=uv，(u,v)=1。证明设