人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 4.4 数学归纳法.pptVIP

第四章4.4*数学归纳法

课程标准1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引成果验收·课堂达标检测

基础落实·必备知识全过关

知识点数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基→证明当n取第一个值n0

(n0∈N*)时命题成立初始值n0的值要结合题意而定,不要理所当然认为是1归纳递推→以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”?只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.n=k+1

过关自诊1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步应验证n的值是多少?提示n=4.2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n-1)+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,左边增加的项数为.?2k提示左边增加的项为(2k+1)+(2k+2)+…+(2k+2k),共2k项.

即当n=k+1时,等式也成立.由①②知,对于n∈N*等式成立.

重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升

探究点一对数学归纳法原理的理解【例1】(1)用数学归纳法证明不等式2n(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于.?答案6解析由题意,得当n=1时,21(1+1)2;当n=2时,22(2+1)2;当n=3时,23(3+1)2;当n=4时,24(4+1)2;当n=5时,25(5+1)2;当n=6时,26(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于6.

(2)用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,对于任何n∈N*,等式都成立.上述证明,错误是.?答案未用归纳假设解析本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符.

规律方法数学归纳法的三个注意点(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清式子两边的构成规律.(3)利用假设是核心:在第二步证明n=k+1时,一定要利用归纳假设.

解析在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法.则上述证法()A.过程全部正确 B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确D

探究点二用数学归纳法证明等式【例2】(1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“从k到k+1”左端增乘的代数式为.?答案2(2k+1)解析令f(n)=(n+1)(n+2)·…·(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)·…·(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)·(2k+2),所以

规律方法用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)首先根据待证等式的特征,明确等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得到要证的结论.

变式训练2[北师大版教材例题]用数学归纳法证明:首项为a1,公差为d的等这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据①和②,可知等式对任意正整数n都成立.

探究点三用数学归纳法证明不等式

规律方法用数学归纳法证明不等式的四个关键点

探究点四归纳—猜想—证明【例4】将正整数进行如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),……分别计算各组包含的正整数的和,如下:S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,……

(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜测S1+S3+…+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.解(1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=1