正余弦定理与解三角形.docVIP

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正弦余弦定理涵义及公式

一、同步知识梳理

一、正弦定理

1、正弦定理：在△ABC中，（R为△ABC外接圆半径）。

2、变形公式：（1）化边为角：

（2）化角为边：

（3）

（4）.

3、正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）

二、余弦定理

1、余弦定理：

2、余弦定理可以解决的问题：

（1）已知三边，求三个角；（解唯一）

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：

（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）

三、解三角形

1、三角形面积公式：

二、同步题型分析

正弦定理

例题1、在中，角所对的边分.若，则()

A．-B．C．-1D．1

【分析】：题设已知边角之间的等式，通过正弦定理得到角之间的关系，再化简到结论中的形式

【解析】∵，∴，

∴.

变式1、在中,已知,则_______.

【分析】题设一直两角和一个对边，根据正弦定理，求解另外一角所对的边长

【解析】由正弦定理得

变式2、在中，若，则.

【答案】

【解析】：由正弦定理得又所以

例题2、在△ABC中，已知=,=,B=45°,求A、C和.

【分析】题设一直两边一角，根据正弦定理求解变长，但是由于正弦的值为正数有两个解，需要根据题设讨论两解是否都符合题意，从而求解所有角度和边长

【解析】∵B=45°＜90°且sinB＜b＜,∴△ABC有两解.

由正弦定理得sinA===,

则A为60°或120°.

①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,

c====.

②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,

c====.

故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=或

A=120°,C=15°,=.

余弦定理

例题1、设的内角的对边分别为,且则______

【分析】题设已知两角余弦值，和一角对边长，从而先通过正弦定理求解变长，再根据余弦定理求解第三边

【解析】由,

由正弦定理得,

由余弦定理

例题2、设的内角所对的边分别为.已知，，，求的周长；

【分析】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力

【解析】（Ⅰ）∵

∴

∴的周长为.

例题3、已知中，、、，求中的最大角。

【分析】首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.

【解析】∵三边中最大，∴其所对角最大，

根据余弦定理：，

∵，∴

故中的最大角是.

【总结】

1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；

2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.

解三角形和正余弦定理应用

一、专题精讲

正、余弦定理解三角形

例题1、在△ABC中，、、分别是角A，B，C的对边，且=-.

（1）求角B的大小；

（2）若=，+=4，求△ABC的面积.

【分析】通过条件，把角转化成边之间的关系，整理后，根据余弦定理找到cosB的取值，从而求出角B，第二问根据余弦定理和题目条件构成方程组，求解ac的值，再根据面积公式求解三角形面积

【解析】（1）由余弦定理知：cosB=，

cosC=.

将上式代入=-得:

·=-

整理得:2+2-2=-

∴cosB===-

∵B为三角形的内角，∴B=.

（2）将=,+=4,B=代入

2=2+2-2cosB,得2=(+)2-2-2cosB

∴2=16-2,∴=3.

∴S△ABC=sinB=.

变式1、设的内角所对的边分别为且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的周长的取值范围.

【解析】（1）由得

又

，，，

又

（2）由正弦定理得：,

故的周长的取值范围为.

变式2、在中,角,,对应的边分别是,,.已知.

(I)求角的大小;

(II)若的面积,,求的值.

【答案】解:(I)由已知条件得:

,解得,角

(II),由余弦定理得:,

正、余弦定理和角的转化解三角形

例题2、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为，，c．已知．

（I）求的值；

（II）若cosB=，ABC的周长为5，求的长。

【分析】通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行