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圆锥曲线——椭圆

①基础知识：

一、第一定义：平面内的轨迹叫椭圆。

其中叫做椭圆的焦点（F1F2）。叫做椭圆的焦距（|F1F2|）。

★思考：|PF1|+|PF2|=|F1F2|时的轨迹是什么？

|PF1|+|PF2||F1F2|时呢？

二、第二定义：平面内的轨迹叫椭圆。

其中定直线为：定点为：定值为：范围：(0＜e＜1)。

三、标准方程。

椭圆的标准方程为：或（ab0）。

注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。

如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。

例如：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，两个分母分别为：4、3。∵4＞3又∵4是X项的分母∴焦点在X轴上。

四、参数方程

（为参数）

四、椭圆的简单几何性质。

①、范围。

以焦点在X轴的椭圆为例：

∵eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)∴eq\f(x2,a2)≤1eq\f(y2,b2)≤1∴|x|≤a|y|≤b即：-a≤x≤a-b≤y≤b

②、对称性。

关于X、Y轴成轴对称。关于原点成中心对称。

③、顶点。

坐标轴和椭圆的四个交点：A1、A2、B1、B2。

长轴：|A1A2|短轴：|B1B2|

连接B、F。构成RT△OBF|OB|=b|OF|=c|BF|=a∴a2=b2+c2（重要的性质）

④、离心率。

椭圆的离心率：e=eq\f(c,a)（0＜e＜1）e越大越扁e越小越近圆。

⑤、扩展。

通径：过焦点且垂直于长轴。

焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。

焦半径公式：若M（x0,y0）|MF1|=a+ex0|MF2|=a-ex0

★规律及其解题方法提炼：

1．椭圆中任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.

2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为把这个弦叫椭圆的通径．

3．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．

4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．

5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．

6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．

★解题技巧

①、求椭圆的标准方程。（先确定方程为标准方程方法如上。）

常用方法：

定义法：即根据椭圆的第一定义或第二定义直接写出椭圆的标准方程。

待定系数法：当题目所给已知条件中不能直接写出椭圆方程时、利用待定系数法。此时应注意焦点的位置（X轴或Y轴）假设相应方程。如不确定焦点位置可假设方程为：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．

②、求切线方程。

若求在（X0，Y0）处的切线方程，则：

设切线方程为：eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1。再代入一点即可求得。

建立方程组：联立切线方程与椭圆方程消元后得到一个二次方程。再利用根的判别式Δ=b2-4ac=0确定系数从而确定切线方程。

③、线系方程。

同焦距的方程可假设为：eq\f(x2,a2+t)＋eq\f(y2,b2+t)＝1。

同离心率的方程可假设为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝t2【定义、方程的考察】

8、F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （）

A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆

9、设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（）

A．椭圆 B．线段C．不存在 D．椭圆或线段

10、过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的弦AB与另一个焦点F2围成的三角形△ABF2的周长是.

1、如果方程表示焦点在轴的椭圆，那么实数的取值范围是

2、椭圆的一个焦点是，那么。

6、若方程EQ\F(x2,a2)—EQ\F(y