高中数学：等比数列教学设计.doc

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

秋季

课题

等比数列

教科书

书名：普通高中教科书数学选择性必修第三册（人教B版）

出版社：人民教育出版社

教学目标

1.通过实例，理解等比数列的概念,体会数学在实际生活中的价值，培养学生数学抽象素养。

2.探索并归纳出等比数列的通项公式，能运用通项公式解决简单的问题，发展学生的数学运算和逻辑推理素养。

3.掌握等比中项的定义和等比数列的性质,并能利用它解决有关等比数列的问题。

4.了解等比数列与指数函数的关系，培养学生的数学建模素养。

教学内容

教学重点：

等比数列的定义，等比中项、等比数列的性质的应用。

等比数列的通项公式及推导过程。

教学难点：

1.等比数列的性质与函数特征及综合运用。

教学过程

一、情景导入

问题.观察下列情景中的数列，回答后面的问题.

观看视频《巴菲特——复利的威力》。得出数列①

有些细胞在分裂时，会从1个变成2个，2个变成4个，4个变成8个……，这里细胞的个数构成数列1，2，4，8，16，32，…②

3.《庄子》中说“一尺之棰，日取其半，万事不竭.”其意思是:一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果记木棒的长度为1，则不断取一半的过程中，每日之后木棒的长度构成数列12，14

探究1.数列①②③在数学中都称为等比数列，它们有什么共同点?

引导学生发现规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。

[设计意图]该情境让学生从生活实例中发现各组数列的共同特点，目的在从而自然引出本节课的探究问题——等比数列的定义，培养学生数学抽象素养。

二、概念生成

探究2探究2.类比等差数列的概念，你能给等比数列下一个定义吗？

如果一1.等比数列的定义

人如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

数学表达式：或者.

[设计意图]让学生经历概念的自主建构过程，并让学生体会类比思想在数学学习中的应用。

牛刀小试

例1.判断以下数列是否是等比数列？如果是，指出公比；如果不是，说明理由。

（1）1,10,100,1000,10000；

（2）0,1,2,4,8；

解：（1）因为，所以是等比数列，且公比为10。

因为没有意义，因此不是等比数列。

（3）因为，所以不是等比数列。

探究3.类比等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的的通项公式吗？

通过类比等差数列的通项公式的推导过程，归纳探究等比数列的通项公式。方法有两种，分别是不完全归纳法和叠加法，类比等差数列的通项公式的推导方法，等比数列的通项公式也有两种推导方法。

（不完全归纳法）设一个等比数列的首项为,公比为,根据等比数列的定义，

可得,即

所以，

，

由此可归纳出等比数列的通项公式为

（累乘法）另外，注意到由等比数列定义可得

an-1a

EMBEDEquation.KSEE3

EMBEDEquation.KSEE3

将这个式子两边分别相乘，则有EMBEDEquation.KSEE3

因此同样可得等比数列的通项公式为

[设计意图]类比等差数列通项公式的推导方法，感受数学知识生产的过程，激发学生进一步学习的动力。

2.等比数列的通项公式

一般地,若等比数列的首项为,公比为,则通项公式为：.

点睛：等差数列的通项公式中共含有四个变量,即，如果知道了其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量.

探究5.已知等比数列的第项及公比，求

解:设等比数列的首项为,则

两式相除，整理可得

即

[设计意图]本题的关键是利用等比数列的通项公式将等比数列的第项与任意一项联系起来，从而得出等比数列任意两项之间的关系，并把等比数列的通项公式进行了推广：等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示。

典例解析

例2.已知等比数列中，，

（1）求；

（2）判断18是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由。

解:（1）解法一：设等比数列的首项为,公比为，则

解得，，，因此.

解法二:设等比数列的公比为，则，即

解得,因此

设18是数列中的第项，则，化简得，因为这个方程无正整数解，所以18不是数列中的项.

[设计意图]熟练掌握等比数列的通项公式及推广的使用。

3.等比中项

如果是等比数列，那么称为与的等比中项。

探究6.如果为与的等比中项，那么能用与表示出来吗？

根据等比中项与等比数列的定义可知，因此，

∴

想一想：

1.任意两个数都有等比中项吗？

若,则有两个等比中项;若,则无等比中项。

2.等比数列的奇数项的符号与偶数项的符号有什么特点？

因为，所以等比数列的奇数