浙大概率论与数理统计课件-第三章多维随机变量及其分布.pptVIP

用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X和Y相互独立.它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.其中是X和Y的联合密度，几乎处处成立，则称X和Y相互独立.对任意的x,y,有若(X,Y)是连续型r.v，则上述独立性的定义等价于：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.分别是X的边缘密度和Y的边缘密度.若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有例1设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解x0y0二、例题即可见对一切x,y,均有：故X,Y独立.若(X,Y)的概率密度为情况又怎样？解0x10y1由于存在面积不为0的区域，故X和Y不独立.例2甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？解设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以12时为起点,以分为单位,依题意,X~U(15,45),Y~U(0,60)所求为P(|X-Y|5),甲先到的概率由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率P(XY)解一P(|X-Y|5)=P(-5X-Y5)P(XY)解二P(XY)=1/2被积函数为常数，直接求面积=P(XY)P(|X-Y|5)在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求发生两信号互相干扰的概率.类似的问题如：盒内有个白球,个黑球,有放回地摸球例3两次.设第1次摸到白球第1次摸到黑球第2次摸到白球第2次摸到黑球试求(3)若改为无放回摸球,解上述两个问题.解如下表所示:(2)由上表可知表所示:由上表知:可见故X，Y不相互独立。三、正态随机变量的独立性由前知X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为反之，如时X与Y相互独立，则对任意的x和y有特别地，有四、一般n维随机变量的一些概念和结果1、2、3、4、边缘分布 如：5、相互独立6、定理1： 定理2：例2设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=5c/24,c=24/5.解(1)故例2设(X,Y)的概率密度是解求(1)c的值;(2)两个边缘密度.(2)当时当时,暂时固定注意取值范围综上,当时,例2设(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.暂时固定综上,注意取值范围在求连续型r.v的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.下面我们介绍两个常见的二维分布.1、设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布.向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.2、若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）服从参数为的二维正态分布.其中均为常数,且记作（X,Y）～N().例3试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解因为所以则有同理可见由边缘分布一般不能确定联合分布.不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明1.在这一讲中，