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大学高数下册试题及答案,第8章

第八章重积分作业9二重积分的概念与性质1．利用

二重积分的性质,比较下列积分的大小：

与(a)D是由直线及所围成的闭区域；

(b)D是由圆周所围成的闭区域．解：(a)因为在区域内部

有，从而大(b)因为在区域内部有，从而大与(a)D是矩形

闭区域：；

(b)D是矩形闭区域：．解：(a)因为在区域内部有，从而大

(b)因为在区域内部有，从而大与，其中是由三个坐标面与

平面所围成的闭区域．解：因为在区域内部有，从而，因

此大2．利用积分的性质，估计下列各积分的值：

，其中D是矩形闭区域：；

解：因为在区域内部有，因此，其中为球体；

解：因为在区域内部有，因此，其中L为圆周位于第一

象限的部分；

解：因为在曲线上积分，不妨设，，因此，其中为柱

面被平面所截下的部分．解：因为在曲面上积分，从而，，

因此作业10二重积分的计算1．试将二重积分化为两种

不同的二次积分，其中区域D分别为：

由直线及双曲线所围成的闭区域；

解：作图得知区域D可以表示为：，得区域D也可以分块

表示为：

从而环形闭区域：．解：在极坐标下环形闭区域为从而

在直角坐标下环形闭区域需分块表达，分块积分变为2．改

换下列二次积分的积分次序：

；

；

．3．画出积分区域，并计算下列二重积分：

，其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；

解：作图，原式=，其中D是由所确定的闭区域；

解：作图，原式=，其中D是由不等式所围成的闭区域；

解：作图，原式=，其中D是顶点分别为的三角形闭区

域．解：作图，原式=4．求由曲线所围成的闭区域的面

积．解：曲线方程联立，得作图知，原式=5．求由四个平

面所围柱体被平面及所截得的立体的体积．解：四个平面

决定的区域D为：

在区域D内部从而所截得的立体的体积6．化下列二次

积分为极坐标系下的二次积分：

；

7．利用极坐标计算下列积分：

，其中D是由圆周所围成的闭区域；

解：D是圆周，即从而，其中是由圆所围成的闭区域；

解：D是圆周围成，知其为从而原式=，D是与所确

定的闭区域；

解：D是圆环的关于原点对称的两部分，，与从而原式=，

其中D是介于两圆和之间的闭区域．解：D介于两圆之间，

可知从而原式=8．用适当的坐标计算下列积分：

，其中是由直线，，，所围成的闭区域；

解：作图知由直角坐标表达方便，，其中是由圆周所

围成的闭区域；

解：由表达式由极坐标表达方便，，原式=，D：；

解：先作坐标轴平移，再用极坐标原式=，D：．解：用

广义极坐标原式=作业11三重积分的概念与计算1．试

将三重积分化为三次积分，其中积分区域分别为：

由双曲抛物面及平面所围的闭区域；

由曲面及所围的闭区域．2．计算下列三重积分：

，其中为平面，所围成的四面体；

解：分析边界作图知为，原式=，其中是由曲面与平面

所围的闭区域；

解：分析边界作图知为，原式=，其中是由平面及抛物柱

面所围的闭区域．解：分析边界作图知为，原式=3．利

用柱面坐标计算下列三重积分：

，其中是曲面和平面所围成的闭区域；

解：原式，其中是曲面及所围成的闭区域；

解：原式