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二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节机动目录上页下页返回结束函数的极值与最大值最小值第三章一、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.机动目录上页下页返回结束注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,机动目录上页下页返回结束定理1(极值第一判别法)(第一充分条件)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)机动目录上页下页返回结束点击图中任意处动画播放\暂停例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得导数不存在的点3)列表判别是极大点,其极大值为是极小点,其极小值为机动目录上页下页返回结束定理2(极值第二判别法)(第二充分条件)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.机动目录上页下页返回结束例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动目录上页下页返回结束二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值机动目录上页下页返回结束特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)机动目录上页下页返回结束唯一性原理例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.机动目录上页下页返回结束因此也可通过例3.求函数说明:求最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.机动目录上页下页返回结束(k为某一常数)例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,机动目录上页下页返回结束****运行时,点击按钮“定理3”,或“(4)判别法的推广(Th3)”,可显示定理3的具体内容.*
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