相似三角形的定义及判定.doc

相似三角形的定义及判定

27.2.1相似三角形的判定

第1课时相似三角形的定义及判定

学习目标

1．了解相似比的定义；(重点)

2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点)

3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)

教学过程

一、情境导入

如图，在△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似．

二、合作探究

探究点一：相似三角形的有关概念

如图所示，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求：

(1)△OAC和△OBD的相似比；

(2)BD的长．

解析：(1)由△OAC∽△OBD及∠C＝∠D，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD的长．

解：(1)∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D，∴线段OA与线段OB是对应边，则△OAC与△OBD的相似比为eq\f(OA,OB)＝eq\f(4,2)＝eq\f(2,1)；

(2)∵△OAC∽△OBD，∴eq\f(AC,BD)＝eq\f(OA,OB)，∴BD＝eq\f(AC·OB,OA)＝eq\f(2×2,4)＝1.

方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法．

探究点二：平行线分线段成比例定理

【类型一】平行线分线段成比例的基本事实

如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，直线l4、l5交于点O，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.

(1)求eq\f(CB,AB)的值；

相似三角形的定义及判定全文共1页，当前为第1页。(2)求AB的长．

相似三角形的定义及判定全文共1页，当前为第1页。

解析：(1)根据l1∥l2∥l3推出eq\f(CB,AB)＝eq\f(EF,DE)；(2)根据l1∥l2∥l3，推出eq\f(EF,DF)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(5,8)，代入AC＝24求出BC即可求出AB.

解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴eq\f(CB,AB)＝eq\f(EF,DE).又∵DF∶DF＝5∶8，∴EF∶DE＝5∶3，∴eq\f(CB,AB)＝eq\f(5,3)；

(2)∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8，AC＝24，∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(5,8)，∴BC＝15，∴AB＝AC－BC＝24－15＝9.

方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置．

【类型二】平行线分线段成比例的基本事实的推论

如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝5，AC＝5，求AE的长．

解析：根据DE∥BC得到eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，然后根据比例的性质可计算出AE的长．

解：∵DE∥BC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，即eq\f(2,2＋5)＝eq\f(AE,5)，∴AE＝eq\f(10,7).

方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．

探究点三：相似三角形的引理

【类型一】利用相似三角形的引理判定三角形相似

如图，在?ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．

解析：由平行四边形的性质可得：BC∥AD，AB∥CD，进而可得△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，再进一步求解即可．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD，∴△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，∴△DFC∽△EDA，∵AB＝3BE，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.

方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．

相似三角形的定义及判定全文共2页，当前为第2页。

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【类型二】利用相似三角形的引理求线段的长

如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O.

(1)如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长；

(2)如果BO∶OE∶EC＝2∶4∶3，AB＝3，求CD的长．

解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF＝6，则AD＝AF＋FD＝8；(2)根据平行线AB∥CD分线段成比例知BO∶OE＝AB∶EF，结合已知条件求得EF＝6；同理由EF∥CD推知EF与CD之间的数量关系，从而求得CD＝10.5.

解：(1)∵CE＝3，EB＝9，∴BC＝CE＋EB＝12.∵AB∥EF，