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重难点突破15与圆有关的压轴题

目录

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题型01利用圆的相关知识解决多结论问题

题型02圆与三角形综合问题

题型03圆与四边形综合问题

题型04圆与函数综合问题

题型05正多边形与圆综合

题型06求不规则图形面积

题型07三角形内切圆与外切圆综合

题型08阿氏圆模型

题型09隐圆模型

题型01利用圆的相关知识解决多结论问题

一、单选题

1．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB=10，DE是弦，AB⊥DE，CEB=EBD，sin∠BAC=35，AD的延长线与CB的延长线相交于点F

①∠DBF

②CG是⊙O

③B，E两点间的距离是10；

④DF=

??

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】连接OC、BE、AE，过点F作FG⊥AB交AB延长线于G，AB⊥DE于H．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证∠CAE=∠BAE=∠DAB，∠DBF=∠CAD，即可得到∠DBF=3∠DAB；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证∠OCG=∠OBG，推出∠OCG≠90°，OC不垂直CG，即可判断CG不是⊙O的切线；③证∠CAB=∠EOB，结合sin∠BAC=

【详解】如图，连接OC、BE、AE，过点F作FG⊥AB交AB延长线于G，AB

??

∵⊙O的直径AB=10，

∴∠ACB=90°，

AC=AB

∵DE是弦，AB⊥DE

∴EB

CEB-EB=

∴CE

∴∠CAE

∴∠CAD

∵∠DBF

∴∠DBF

故结论①正确

∵CE

∴∠EOB

又∵∠CAB

∴∠CAB

∴sin

∵OE=12AB

∴EH

∴OH

∵OA

∴BH

BE=

故结论③正确

∵∠CAB=∠EOB

∴AC

OG⊥

∴OG平分BC

∴OG是BC

∴CG

∴∠GCB

∵OC

∴∠OCB

∴∠GCB+∠OCB

∵DE是弦，

∴∠ABD

∠OBG

∴∠OCG是钝角，∠

∴OC不垂直CG，CG不是⊙

故结论②不正确

∵AB⊥DE

∴DH=EH

tan∠

∴FG:AG

∴FG

∴设DF=a，则

GF=110

∵∠GBF

∴tan

GFBG

BG=

∴10

1210

解得：a=

∴DF

故结论④不正确

综上，①和③这2个结论正确，

故选：B．

【点睛】本题考查了圆的性质综合，结合判断切线、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点推理证明和计算是解题的关键．

2．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：

①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，

②AP＝FP，

③AE＝102AO

④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，

⑤CE?EF＝EQ?DE．

其中正确的结论有（）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【答案】B

【分析】①正确:证明∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角的性质即可得出答案；

②正确：利用四点共圆证明∠AFP=∠ABP=45°即可；

③正确：设BE=EC=a，求出AE，OA即可解决问题；

④错误：通过计算正方形ABCD的面积为48；

⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可.

【详解】①正确：如图，连接OE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，

∴∠BOC=90°，

∵BE=EC，

∴∠EOB=∠EOC=45°，

∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC=∠EAC+∠AEO，

∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°，故①正确；

②正确：如图，连接AF，

∵PF⊥AE，

∴∠APF=∠ABF=90°，

∴A，P，B，F四点共圆，

∴∠AFP=∠ABP＝45°，

∴∠PAF=∠PFA＝45°，

∴PA=PF，故②正确；

③正确：设BE=EC=a，则AE＝5a，OA＝OC＝OB＝OD＝2a，

∴AEAO=5a2a=10

④错误：根据对称性可知，△OPE

∴S△OEQ=12S

∵OB=OD，BE=EC，

∴CD=2OE，OE⊥CD，

∴EQDQ=OECD

∴S△ODQ=4，

∴S△

∴S正方形ABCD=

⑤正确：∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC，

∴△EPF

∴EFED

∴EQ=PE，

∴CE?EF=EQ?DE，故⑤正确；

综上所诉一共有4个正确，故选：B．

【点睛】本题主要考查了三角形外角性质、四点共圆问题、全等与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概念与方法是解题关键.

3．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线B