❤重难点04 二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题（解析版）.docxVIP

重难点突破04二次函数中的平移、翻折、

对称、旋转、折叠问题

目录

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题型01二次函数平移问题

题型02二次函数翻折问题

题型03二次函数对称问题

题型04二次函数旋转问题

题型05二次函数折叠问题

题型01二次函数平移问题

1.二次函数的平移变换

平移方式（n＞0)

一般式y=ax2+bx+c

顶点式y＝a(x–h)2＋k

平移口诀

向左平移n个单位

y=a(x+n)2+b(x+n)+c

y=a(x-h+n)2+k

左加

向右平移n个单位

y=a(x-n)2+b(x-n)+c

y=a(x-h-n)2+k

右减

向上平移n个单位

y=ax2+bx+c+n

y=a(x-h)2+k+n

上加

向下平移n个单位

y=ax2+bx+c-n

y=a(x-h)2+k-n

下减

2.平移与增加性变化

如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.

只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.

只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.

1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a≠0与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是线段BC上一点，如果∠PAC=45°，求点P的坐标；

(3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF⊥直线AP，垂足为点F，如果tan∠PEF=

【答案】(1)y

(2)P

(3)y=

【分析】（1）设点A的横坐标为xA，点B的横坐标为xB，根据对称轴，AB=4，列式xA

（2）过点C作AC⊥MN于点C，交AC右侧的AP的延长线于点M，交AC左侧的AP的延长线于点N，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可．

（3）设抛物线向左平移了t个单位，则点E1-t,-4，过点F作x轴的平行线交过点P和y轴的平行线于点H，交过点E和y轴的平行线于点G，证明Rt△FGE∽Rt

【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2-2ax-3a≠0与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为

∴xA

解得xB

∴-3a

解得a=1，

故抛物线的解析式为y=

（2）过点C作AC⊥MN于点C，交AC右侧的AP的延长线于点M，

∵∠PAC=45°，

∴AC=CM，

过点M作MT⊥y轴于点T，

∴∠ACO=90°-∠ECM=∠CMT

∵∠ACO=∠CMT∠AOC=∠CTM

∴△AOC≌△CTMAAS

∴AO=CT,OC=EM，

∵抛物线的解析式为y=x2

∴AO=CT=1,OC=TM=3，A-1,0

∴OE=2,TM=3

∴M3,-2

设AM的解析式为y=kx+b，BC的解析式为y=px+q

∴-k+b=03k+b=-2

解得k=-

∴AM的解析式为y=-12x-12

∴y=x-3y=-

解得x=5

故P5

（3）∵y=x2-2x-3=

设抛物线向左平移了t个单位，则点E1-t,-4

过点F作x轴的平行线交过点P和y轴的平行线于点H，交过点E和y轴的平行线于点G，

由（2）知，直线AP的表达式为：y=-12

设F

∵∠EFP=90°，

∴∠GFE+∠HFP=90°，

∵∠GFE+∠GEF=90°，

∴∠GEF=∠HFP，

∴Rt△FGE

∴GEHF

∵GE=yF-yE=-1

∴-1

解得：t=26

∴y=x-1+

【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键．

2．（2023·广东湛江·校考一模）如图1，抛物线y=36x2+433x+23与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点

(1)点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；

(2)如图2，在（1）的条件下，过点F作FH⊥x轴于点H交AC于点L，将△AHL沿着射线AC平移到点A与点C重合，从而得到△AHL（点A，H，L分别对应点A，H，L），再将△AHL绕点H逆时针旋转

【答案】(1)4+

(2)1733

【分析】（1）作FH∥y轴交DE于H．设F(m,36m2+433m+23)，求出直线DE的解析式，联立方程得到x=-3时，FH的值最大，求出答案；作点G关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC

（2）当△PQR是等腰三角形时，易知∠QPR=120°，易知直线RQ与x轴的夹角为60°，得到直线R