❤重难点14 几何最值问题4种类型（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）（解析版）.docxVIP

重难点突破14几何最值问题4种类型

（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）

题型01费马点

【基础】费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.

结论：

1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于2)有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°）

【解题思路】运用旋转的方法，以?ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度.

结论证明过程：

情况一：当△ABC各角不超过120°时，

将?APB绕着点B逆时针旋转60°得到?A’P’B

则?APB≌?A’P’B∴BP=BP’AP=AP’∠A’P’B=∠APB

而∠P’BP=60°则?P’BP为等边三角形

∴∠BPP’=∠P’BP=∠BP’P=60°

∵PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≤A’C

∴当A’、P’、P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为A’C

此时∠BPC=180°-∠BPP’=120°

∠APB=∠A’P’B=180°-∠BP’P=120°

∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°

情况二（仅需理解）：当△ABC有一个内角不小于120°时，

延长BA至C使得AC=AC，做∠CAP=∠CAP，

并且使得AP=AP,PC=PC，则△APC≌△APC

∵∠BAC≥120°

∴∠PAP=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°

∴等腰三角形PAP中，AP≥PP

∴PA+PB+PC≥PP+PB+PCBC=AB+AC（(只有当P、A重合时取等号)）

所以，当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．

【费马点的作法】（当△ABC各角不超过120°）

作法：1）如图，分别以?ABC中的AB、AC为边，作等边?ADB、等边?AEC

2）连接CD、BE，则?ADC≌?ABE(手拉手模型)

3）记CD、BE交点为P，点P为费马点.

4）以BC为边作等边?BCF，连接AF，必定经过点P，且BE=AF=CD.

【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论

如图所示，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点.

图形

结论

等腰三角形

①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；

②△ABP与△ACP全等；

③△BCP为等腰三角形；

④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小.

等边三角形

①AP=BP=CP；

②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；

③△ABP、△ACP、△BCP全等；

④点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；

⑤点P是△ABC各边的中线的交点；

⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；

⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小.

直角三角形

①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小；

②∠APB=∠BPC=∠APC=120°

【进阶】

加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点”.

【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转.

已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5,△ABC内部有一点P,连接PA，PB，PC

问题

求解图形

作法

求PA+PB+PC最小值

△CAP绕点C顺时针旋转60°得△CDE

BD长度即为所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC

求PA+PB+2PC最小值

△CAP绕点C顺时针旋转90°得△CDE

此时△PCE为等腰直角三角形，即PE=2PC

因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE，则当B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF

求PA+PB+3PC最小值

△CAP绕点C顺时针旋转120°得△CDE

此时△PCE为等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=3PC，因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE，则当B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF

求2PA+PB+3PC最小值

思路：原式=2（PA+12PB+32PC）

1)将PC边绕点C旋转60°，然后过点P作PF⊥CE于点F,则PF=32PC;2)12PB利用三角形中位线来处理；3）PA前的系数是

过程：△BCP绕点C顺时针旋转60°得△C