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寒假专题——常见递推数列通项公式的求法

重、难点：

重点：

递推关系的几种形式。

难点：

灵活应用求通项公式的方法解题。

【典型例题】

n?1 n[例1] a ?ka ?

n?1 n

k?1时，a

a

n?1 n

?b?{a

n

}是等差数列，a

?b?n?(a

1

b)

n?1 n n?1 nnk?1时，设a ?m?k(a ?m) ∴a ?

n?1 n n?1 n

n

m? b

比较系数：km?m?b ∴ k?1

{a ? b } a? b

∴ n k?1是等比数列，公比为k，首项为1 k?1

b b b b

a ? ?(a ? )?kn?1 a ?(a ? )?kn?1?

∴ n k?1

1 k?1

∴ n 1

k?1 k?1

n?1 n[例2] a ?ka ?f(n

n?1 n

n?1 nk?1时，a ?a ?f(n)，若f(n

n?1 n

11

1

n例：已知{a解：

n

}满足a

?1，

a ?a

n?1 n

?

求n(n?1) {a

求

n

}的通项公式。

a ?a

∵ n?1 n

? 1 ?1? 1

n(n?1) n n?1

1 1 1 1

a ?a

∴ n

?

n?1

a

n?1 n

n?1

a

n?2

? ?

n?2 n?1

a

n?2

a

n?3

? 1 ? 1

n?3 n?2……

1 1 1

a ?a

3 2

? ? a ?a

2 3 2 1

?1?

2

1 1

aa

a

对这（n?1）个式子求和得： n 1

?1?

n ∴

a ?2?

n n

∴n?1 nk?1时，当f(n)?an?b则可设a ?A(n?1)?B?k(a ?An?B)a ?ka ?(k?1)An?(k?1)B

∴

n?1 n

n?1 n

?(k?1)A?a

a B?

b ? a

?

∴?(

k?1)B?A?b

A?

解得：

k?1，

k?1 (k?1)2

∴{a

∴

n

?An?B}是以a

?A?B为首项，k为公比的等比数列

1a ?An?B?(a

1

∴ n 1

?A?B)?kn?1

a ?(a

∴ n 1

?A?B)?kn?1

An?B 将A、B代入即可

（3）f(n)?qn（q?0，1）

a

n?1

?k?an?1

等式两边同时除以qn?1得qn?1

q qn q

C ?an

C ? C ?

k 1n令 n qn 则 n?1 q n q ∴{

k 1

n

}可归为a

n?1

?ka

n

b型

n?1 n[例3] a ?f(n)?

n?1 n

若f(n)是常数时，可归为等比数列。

若f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。

1 2n?1

na

n

例：已知：1

? a

3， n

?2n?

a

1 n?1（n

?2）求数列{a

}的通项。

解： n?1 n?2

a ?a

n?3 2 1

3 ? 1

1 2n?1

∴ n 1

m?a

2n?1 2n?1

[例4]

a ?k?

n

n?1

m?a

n?1

型。

1 ?k( 1

a a

?1)

m

1 ?k? 1 ?k

a m

考虑函数倒数关系有 n

n?1

∴ n n?1

C ? 1

n a

令 n

{C

则n

则

}可归为a

n?1

?ka

n

b型。

练习：

n 已知{a解：

n

1}满足a

1

?3，a

n?1

?2a

n

?1求通项公式。

设 ?1∴a ?m?2(a ?m) a ?2a

设 ?1∴

n?1 n n?1 n

n?1∴{a ?1}是以4为首项，2

n?1

∴a ?1?4?2n?1

∴

n

a ?2n?1?1

∴n

∴

1nn 已知{a解：

1

n

n

}的首项a

?1，a

n?1

?a ?2n（n?N*）求通项公式。

a ?a ?2(n?1)

n n?1

a ?a ?2(n?2)

n?1 n?2

……a ?a ?2(n?3)

……

n?2 n?3

a ?a ?2?2

3 2

a