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第4章导数及其应用易错题

易错点1．误解导函数与单调区间的关系

【例1】f?(x)是f(x)在区间[a,b]的导函数，则“在区间(a,b)内f?(x)?0”是“f(x)在该区间内单调递增”的 条件．

【错解】充要

【错因】一般地，由f?(x)?0能推出f(x)为增函数，反之，则不一定．如函数f(x)?x3在区间(??,??)

上单调递增，但是f?(x)?0，因此f?(x)?0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件．

【正解】充分不必要

【纠错训练】若函数f(x)?ax3?x在R上为减函数，求实数的取值范围．

【解析】由f?(x)=3ax2?1?0在R上恒成立，

∴当a?0时，f?(x)??1?0，满足题意；

? a?0

?当a?0，???12a?0

?

综上所述，a?0．

，解得a?0．

易错点2．误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系

【例2】函数f(x)?x3?ax2?bx?a2在x?1处有极值10，求a,b的值．

【错解】由f(1)?10,f?(1)?0解得a?4,b??11或a??3,b?3．

【错因】对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把f(x

0

)为极值的必要条件当作充要条件．

?f(1)?10 ?a?4 ?a??3

【正解】f?(x)?3x2?2ax?b，依题意得? ?

，解得? 或? ，

?a?4

?f(1)?0

?b??11 ?b?3

当? 时，f?(x)?3x2?8x?11?(3x?11)(x?1)，所以f(x)在x?1处取得极值；

?b??11

?a??3

?当?

?

?b 3

时，f?(x)?3x2?6x?3?3(x?1)2，此时f(x)在x?1无极值．

所以a??3,b?3．

易错点3．对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

【例3】已知函数f（x）的导函数f??x?的图像如左图所示，那么函数f?x?的图像最有可能的是

【错解】选B,C,D

【剖析】概念不清，凭空乱猜

【正解】由导函数的图像，可得：当x????,?2? ?0,???时，f(x)?0，当x???2,0?时，f(x)?0，且开口向下；则f(x)在???,?2?上递减，在??2,0?上递增，在?0,???递减；故选A．

【纠错训练】函数y?f?x?的导函数f?(x)的图象如右图所示，则函数y?f?x?的图象可能是（ ）

【解析】试题分析：由图像可知导数值先正后负，所以原函数先增后减，只有D符合．

易错点4．遗忘复合函数求导公式

【例4】函数y?x?e1?cosx 的导数为 ．

【错解】y??e1?cosx

【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变

量对自变量的导数，即y

??y

x u

??u?．

x

【正解】y??e1?cosx?x?e1?cosx???e1?cosx?xe1?cosx?1?cosx???e1?cosx?

xe1?cosxsinx??1?xsinx?e1?cosx

易错点5．切线问题中忽视切点的位置致错

【例5】已知曲线f(x)?2x3?3x，过点M(0,32)作曲线f(x)的切线，求切线方程．

【错解】由导数的几何意义知k?f?(0)??3，所以曲线的切线方程为y??3x?32．

【错因】点M(0,32)根本不在曲线上，忽视切点位置致错．