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第10章 概率统计易错题

易错点1．重复计算或漏算导致错误

【例1】4名考生在三道选做题中任选一道进行做答，则这三道题都有人选做的概率为( )

4 8 2 4

A．9 B．27 C．9

【错解】

D．27

【错因分析】第一种做法在计算的过程漏掉了“先选的三个人也可以有两个人同时做同一个题”这种情况；第二种做法在计算过程中出现了重复计算．

【正解】4个人做三道题目，每题至少一人，则必有一个题目有两个人做，因此要先将四个人分成三组，

36 4

43然后再排列，方法数为C2A3?36，所求概率为81?9．选A

4

3

【巩固练习1】从1,2,3，…，9这9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ）

5 5 2 4

7

【答案】C

9

7

9

易错点2．超几何分布与二项分布混淆

【例2】为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前组的频率之比为1:2:3，其中第组的频数为12．

求该校报考飞行员的总人数；

以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．

【错解展示】

【错因分析】（1）对随机变量的含义不清楚，不能区分超几何分布与二项分布；（2）对于何时可以样本的

频率代替总体的概率不清楚；

【纠错提醒】（1）超几何分布的本质是“不放回抽样”，是一种古典概型，而二项分布的随机实验是“独立重复实验”，强调每次实验的结果发生的概率相同，可认为是“有放回抽样”．本题中，“若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人”，特别强调人数很多，意味着实验可以看做是“有放回抽样”，所以是一个二项分布；

（2）本题明确要求“以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据”，其意思是：用频率来代替概率，即

16个人中每个人的体重超过60公斤的概率是10=5，也是说，全省每个学生的体重超过60公斤的概率

16 8

5

为 ．

8

【正解】（1）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为p,p,p

1 2 3

，则由条件可得：

?p ?2p

? 2 1

?p ?3p

，解得，p

?0.125,p

?0.25,p

?0.375.

? 3 1

1 2 3

?p?p ?p?(0.037?0.013)?5?1

1 2 3

又因为p2

?0.25?12，故?48．

n

（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p?p

3

?(0.037?0.013)?5?5，故X服从

?8

?

二项分布，P

?X?k?

?5?k?3?3?k

Ck? ?? ?

3?8??8?

XP∴随机变量X

X

P

0

1

2

3

27

135

225

125

512

512

512

512

则EX?0?27

?1?135

?2?225?3?125

?15

，或EX?np?3?5

?15．

512 512 512 512 8 8 8

【巩固练习2】盒子里装有大小相同的个球，其中个号球，个号球，个号球．

若第一次从盒中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是的概率；

若从盒中一次取出个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．

【答案】记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件A，

则P(A)?3?2?2?3?12?3

8 8 8 8 64 16

C2 3 C1C1 9

（Ⅱ）X 可能取的值是2,3,4,5,6 P(X?2)? 3? ，P(X?3)? 3 3? ，

C2 28 C2 28

8 8

C1C1?C2 9 C1C1 6 3

C2 1

P(X?4)? 3 2 3? ，P(X?5)? 3 2? ? ，P(X?6)? 2?

C2 28 C2 28 14 C2 28

8 8 8

X∴X的分布列为：

X