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高二数学空间两条直线人教版

【本讲教育信息】

一.教学内容：空间两条直线

目标：空间两条直线的位置关系；平行公理；等角定理，异面直线。重点：平行公理、等角定理、异面直线。

难点：异面直线的判断及所成角。知识点：

?相交?

空间两条直线的位置关系?平行?共面

? ?

??异面——不同在任何一个平面内的两条直线。

?

?c//b平行公理：若?a//b，则a//c，其中a

?c//b

?

等角定理：若一个角的两边分别与另一角的两边平行，且方向相同，则这两个角的大小相等。

异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线。

B

B

A

a

α

异面直线所成角：

过空间任意一点O，分别作异面直线a与b的平行线a’、b’，则a’与b’所成的锐角或直角叫做a与b的（夹角）所成角。

异面直线所成角求法：

作角：平移a或b，使a与b相交，得到所求角。

以该角为一可解三角形一内角，解三角形、求角的大小。注意：若cosα0，则所求角为π-α。

【典型例题】

例1.在空间四边形ABCD的对角线BD上取两点M、N，分别过点M、N在两个平面内各作一条异于对角线BD的直线ME、NF。求证ME和NF是异面直线。

EN

E

N

M

F

B D

C

证法一：用判定定理证

NF?平面BCD，M?平面BCD

且M?FN，F?平面BCD

?ME与FN是异面直线

证法二：反证法：

假设ME与NF不是异面直线，即N、F、M、E四点共面

则E?平面BCD，且E?平面BCD?E?BD，

这与E不在BD上矛盾。

∴ME与NF是异面直线。

例2.在正方体AC中，M、N分别是AB、BB的中点，求

1 1 1 1

AM和CN所成角的大小；

AM和BD所成角的大小；

AM和BD所成角的大小。

1

D C

GA

G

A

1

B

1

M

N

D

C

A Q P B

解：（1）在AB上取点P，使BP?1AB

4

设AB=4，则∠CNP为AM与CN所成角

17在?CNP中，PN? 5，CN?2 5，CP?

17

?cos?CNP?

PN2?NC2?PC2?5?20?17? 8 ?2

2 5·2 52PN

2 5·2 5

2

??CNP?arccos5

1 1 1 1将BD平移至BD，再平移至MG（G为AD中点）则∠AMG为AM与BD

1 1 1 1

5?在?AMG中，AM?2 5，MG?2 2，AG?2

5

?cos?AMG?

AM2?GM2?AG2? 20?8?20 ? 8 ?

2·2 5·2 28 10102AM

2·2 5·2 2

8 10

10

10

??AMG?arccos

10

补形如下正方体BEFCBEFC

111 1

11取BE中点H，则

11

??HBD为AM与BD

所成角

131

13

?BH?2 5，BD

?

1

1

?4 3，D

1

H?2

?cos?HBD?

BH2?BD2

1

HD2

1

? 20?48?52 ?

2·2 5·4 3151

2·2 5·4 3

15

1

151??HBD?arccos15

15

1

D C F

MB1

MB

1

H

E

1

D

C

A

1

F

A B E

例3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：EFGH是平行四边形。

如果AC=BD，求证EFGH是菱形

如果AC⊥BD，求证EFGH是矩形。

HE

H

E

D

G

B F C

?EH//

?证：（1）??

?

??FG//

?

?

1BD

2

1BD

2

∴EFGH是平行四边形。

?1

?

（2）?FE//2AC ?

1 ?

?FG// BD

?

2

??EFGH是菱形

?

?又?AC?BD?

?

?

?FG//BD

?（3）??EF//AC

?

??AC?BD

?

?EF?GH

??EFGH为矩形

?由（1）知EFGH为平行四边形?

?

例4. 若直线a//平面?，且a?/平面?，????l，求证：a//l

l

l

α

b a

β

c

γ θ

证：过a分别作平面γ、θ

使????b，????c

?a//?，a//?

?a//b

???a//c ?b