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第七章：立体几何系统方法论
进入17世纪后,笛卡尔坐标系的引入使得几何问题可以用代数方程来解决,这对于研究曲线、曲
面和立体几何的性质有巨大的帮助.而在19世纪,瑞士数学家莱昂哈德欧拉(LeonhardEuler)和意⋅
大利数学家拉格朗日(Joseph-LouisLagrange)等人为了解决多面体和曲面的性质问题,提出了许多
创新性的方法和理论,其中最被我们所熟知的便是如下著名的多面体Euler-Descartes公式——对
简单多面体而言,其顶点数、面数及棱数满足以下公式
+−=2
尔后在19世纪末,德国数学家黎曼(BernhardRiemann)的工作为非欧几何（例如椭圆几何和双曲
几何）的发展奠定了坚实的理论基础，进一步丰富了立体几何的内涵.
本章我们将基于教材对与立体几何相关的所有重要性质进行系统探究,并对高考中的必考题型
如求体积、求各种空间角度和距离、求外接球的半径等进行专题式的方法汇总.
第01讲：求体积系统方法论
求体积是立体几何中最基本的问题之一,也是高考的核心考点之一.我们在小学阶段就已知道柱
体的体积公式是底乘以高、而锥体的体积公式则是三分之一倍的底乘高.对于所有求体积的理
论而言,无论是祖晅原理、辛普森法则还是任何其它间接法,其本质都需要用到微积分来解释.
在本讲的一开始我们来认识一下教材中提及的祖晅原理（祖晅原理因祖冲之的儿子、南北朝时
期伟大的数学家、天文学家祖桓而得名,被记录在《九章算术》一书中）.
命题1.1:祖暅原理缘幂势既同、则积不容异一一夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行
于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
命题证明:在《高数视角下的导函数论》一书的第一卷中有关于祖晅原理的严格证明过程,下图
便是佐证祖暅原理的经典图示.
左边“镂空”圆柱(里面被用圆锥−挖空,其中是圆柱底面圆的圆心)的高及其下底面圆的
11
半径皆为,右边球体的半径亦为,平面过左边圆柱的下底面及球体的赤道面,现用平行于的
ℎ
一平面截前述两个几何体，假定这两个平面的高为,则左右两个截面的面积如下
2222
=−=−ℎ=
左右
故而有
12
333
=−==
左33右
由此知
4
=2=3
球右3
从而验证了祖暅原理的合理性.
说明:祖暅原理体现的数学思想之一便是转化,把不规则的甚至是不能直接求体积的几何体通过
既定规则转化成能求体积的几何体.利用祖晅原理解题的关键是判断两个动截面面积是否总相
等,当然如何选取截面也非常关键.
22
+=1(0)
例1.设由椭圆22所围成的平面图形绕轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体
(称为椭球体),则该椭球体体积为______
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