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第二章：函数系统方法论
function一词最早由德国著名数学家威廉⋅莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646年7月一1716年11月)在
1692年所使用.1859年,清代数学家李善兰(1811-1882)在和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积
拾级》中首次将其翻译成“函数”.而函数的现代定义则是由德国另一位伟大数学狄利克雷在
1837年所提出,并一直沿用至今.
在18到19世纪，欧拉（LeonhardEuler）、拉格朗日（Joseph-LouisLagrange）、柯西
（AugustinLouisCauchy)、魏尔斯特拉斯(KarlWeierstrass)等一众数学家为函数理论的发展做出
过卓越的贡献.而20世纪的数学则发展了更抽象的函数空间和拓扑学,同时计算机科学的兴起推
动了函数中的离散数学和算法方面的研究.
总之,函数的发展史涵盖了从古代到现代的广泛历程,从早期比例到坐标系、微积分、复杂函数
理论以及更抽象的一些数学分支,其中函数理论是数学的重要组成部分,它在科学、工程和计算
领域中具有广泛的应用.
在本章我们将务实地系统探究函数在高中阶段涉及到的所有主要性质及其运用.
第01讲：不等式视角下的函数三要素
无论我们怎样去描述或定义一个函数,其根本内涵始终是对于给定范围内的每一个值,都要有唯
一确定的与之对应.通过对教材的学习,我们已知道定义域、对应法则和值域是函数的三大核
心要素,而无论这三要素对应什么样的题型和考点,我们最终发现关键都是解不等式.
性质1.1:函数定义域自变量的集合叫作函数的定义域.其必须满足如下条件:
(1)使函数有意义;(2)满足数学界约定俗成的规定;(3)符合实际情况.
与函数定义域相关的题型可分为两大板块一一具体函数定义域和抽象函数定义域.
2
−56
例1.函数=4−|+lg 的定义域是＿＿＿
3
解析:显然自变量需同时满足
4−|≥0
2
−5+6(−2)(−3)
=0
−3−3
−4≤≤42≠3∈(2,3)∪(3,4]
解得且且,故而所求定义域为.
23
例2.函数=lg 2−+.
8
ℝ
(1)若函数定义域为,则实数的取值范围是＿＿＿
ℝ
(2)若函数值域为,则实数的取值范围是＿＿＿
解析:
0
第一问:显而易见的是若∈ℝ,必有=0或2,解得∈[0,3).
Δ=−30
23
2−+ℝ
第二问:只有当真数可取遍一切大于零的实数时,才能确保函数的值域为,故
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