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相似三角形与函数相结合的动点问题
如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，假设两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，点A〔0，6〕，B〔8，0〕，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t〔s〕．当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．
如图，直线l的函数表达式为y=-x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点Q、P移动时间为t秒．
〔1〕求点A、B的坐标．
〔2〕当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
〔3〕求出〔2〕中当以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度．
(2009武汉)如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．
〔1〕求证：；
〔2〕当为边中点，时，如图2，求的值；〔过点O作OG垂直于AC交BC与点G〕
〔3〕当为边中点，时，请直接写出的值．★★
B
B
B
A
A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1
图2
F
(2008湖南岳阳)在等腰Rt△ABC中，∠BAC=900，如图1所示，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD,那么有AD∥BC。
〔1〕假设将等腰Rt△ABC改为正△ABC，如图2所示，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连接AD，上述结论还成立吗？答：
〔2〕假设△ABC为任意等腰三角形，AB=AC,如图3所示，E为AB上任一点，△CDE∽△ABC，连接AD，请问AD与BC的位置关系怎么样？答：
〔3〕请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明。
〔2010山东德州23,10分〕在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB,BD,BC分别相交于点E、P、F且∠BPF=60°。
〔1〕如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
〔2〕假设直线l向右平移到图2，图3的位置时〔其他条件不变〕，〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请写出来〔不证明〕，假设不成立，请说明理由；
〔3〕探究：如图1，当BD满足什么条件时〔其他条件不变〕，请写出探究结论，并说明理由。
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