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微分方程在实际中的应用——以学习物理

化学为例

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又

可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻找出所需要的函数关

系，在实践中具有重要意义。在许多问题中，往往不能直接找出所需

要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有未知

函数及其导数的关系式，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4，这样的关系就

是所谓微分方程，一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与

。

自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。如果一个微分方程中出

现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微

分方程。如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未

知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，

那么这种微分方程就是偏微分方程。

20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体

力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，

也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向

化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。从“求通解”到“求

解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的

解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程

的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。总之，

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力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，

甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流

模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。牛顿研究

天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得

到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当

斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使

数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化

所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。

微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

但是在实际工作中，常常出现一些特点和初等数学中的某些方程完

全不同的问题如我们所学过的自由落体运动规律，单摆运动，真空

，

中的抛射体运动，深水炸弹的水下运动，电容器的放电规律，质量和

能量之间转换关系规律，运载火箭的运动规律，行星运动规律和万有

引力定律，人造地球卫星的运动规律，导弹的导引规律等。物质运

动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题

就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡

是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要

求一个或者几个未知的函数，即其都是一些常见的微分方程的问题。

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本次论文讨论的是微分方程在物理化学中的应用，前面了解了微分

方程的相关知识，下面则来了解物理化学的相关知识。

物理化学是化学科学中的一个重要学科，又称为理论化学。它借助

数学，物理学等基础学科的理论及其提供的实验手段为基础，研究化

学科学中的原理和方法及化学体系的性质和行为最一般的宏观微观

规律和理论，发现并建立物理化学化学体系的特殊规律的学科是化

，

学的理论基础。随着科学的迅速发展和各门学科之间的相互渗透，物

理化学与物理学、无机化学、有机化学在内容上存在着难以准确划分

的界限，从而不断地产生新的分支学科，例如物理有机化学、生物物

理化学、化学物理等。物理化学还与许多非化学的学科有着密切的联

系，例如冶金学中的物理冶金实际上就是金属物理化学物理化学的

。

内容主要包括三个部分：1，物质结构——研究物质性质和微观结构

的关系；2，化学动力学——研究化学反应的机理和速率；3，化学热

力学——研究化学变化的方向、限度和能量转换。

一般公认的物理化学的研究内容可以概括为以下4个方面：

（1）化学系统的微观结构和性质。

以量子理论为理论基础，研究原子和分子空间结构、表面相