振动机械专业微分方程1弦横向.pdfVIP

第3章连续系统的振动

◆离散系统是由分离的质量、弹簧和阻尼元件所构

成

◆实际振动系统一般具有分布的质量、弹性和阻尼等

物理参数，因而称为连续系统(或分布参数系统)。

◆离散系统具有有限个自由度；

连续系统具有无限多个自由度。

◆在数学上，离散系统的运动方程为方程数目与自由

度数目相等的二阶常微分方程组；

◆连续系统需要用时间和坐标的函数来描述它的运动

状态，因此连续系统运动方程是偏微分方程。

◆若把一个连续系统离散为一个有限单元的集合，便成了

离散系统。反之，离散系统的极限情况就是连续系统。离

散系统是连续系统的近似描述，这也说明连续系统具有

无限多的自由度。

◆离散系统和连续系统具有相同的动力特性。连续系统的振动理

论在概念方面严格地与离散系统相似；分析计算的过程也相似：

(1)建立系统运动微分方程

离散系统:常微分方程组;

连续系统:偏微分方程组。

(2)求固有频率、振型、正则振型

离散系统:根据特征方程求固有频率、确定振型向量；根据正交性

确定正则振型向量。

连续系统:根据边界条件求固有频率、确定振型函数；根据正交性

确定正则振型函数。

(3)求正则坐标下的响应

离散系统:正则坐标数为系统自由度数。

连续系统:正则坐标数为无限个。

(4)求原广义坐标下的响应

◆在研究连续系统的振动时，假设材料是均匀连续的和

各向同性的，并在弹性范围内服从Ｈook)定理，

这些都是建立连续线性系统振动理论的前提。

◆连续系统的偏微分振动方程只在一些比较简单的特殊

情况下才能求得解析解。例如均匀的弦、杆、轴和梁等

的振动问题。

◆实际问题往往是复杂的，并不能归结为简单的连续系

统情形，因而常常需要离散化成有限自由度系统进行计

算或利用各种近似方法求解。

◆实际工程中常用的有限元法是将连续系统离散化的实

用有效方法之一。

简单的连续系统振动演示

3.1弦的横向振动

设有一根细弦张紧于

两固定点之间，弦长为

L。两固定点连线方向

取为x轴，与x轴垂直的

方向取为y轴，如图所

示。

弦的单位长度质量为(x)，在横向分布力f(x,t)作用下作

横向振动，张力为T(x,t)，跨长为L，弦x处的横向位移

函数为y=y(x,t)。

取微段弦线单元体dx。

假设弦作微小横向振动，

则由定律得

2

y

dxfx,tdx

t2()

T

+T+dxsin+dx−Tsin

xx

在微振动条件下，有sintany

x

22

yyy

dxt2f(x,t)dx+Tx+x2dx



2

Tyyy

++