广西柳州市2024届高三下学期第三次模拟考试（柳州三模）数学.docxVIP

柳州市2024届高三第三次模拟考试

数学

（考试时间120分钟满分150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）

A．B．C．D．

2．已知是虚数单位，若为实数，则实数的值为（）

A．1B．C．0D．

3．已知，则（）

A．B．C．2D．3

4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为，已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A．B．10.1C．D．

5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（）

A．60种B．48种C．30种D．10种

6．已知是半径为2的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）

A．B．C．D．

10．椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）

A．必在圆内B．必在圆上

C．必在圆外D．与圆的关系与有关

8．设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的，都有，若函数，则不等式的解集是（）

A．B．C．D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．若，则（）

A．B．C．D．

10．设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（）

A．B．C．D．

11．正三棱柱中，，点满足，其中，则（）

A．当时，与平面所成角为

B．当时，有且仅有一个点，使得

C．当时，平面平面

D．若，则点的轨迹长度为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．若是偶函数，则_________。

13．已知过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线交于两点，若，则_________。

14．在中，角的对边分别为的平分线交于，且，则的最小值为_________。

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面是中点。

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值。

16．已知数列满足：。

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和。

17．某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：

试销单价（百元）

1

2

3

4

5

6

产品销量（件）

91

86

78

73

70

附：参考公式：，

参考数据：

（1）求的值；

（2）已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）；

（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值，当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”，现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数的分布列和期望。

18．已知函数

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若为的导函数，设。证明：对任意

19．是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且。

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设，过点的直线与曲线交于两点（点在轴上方）。为直线的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程。