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高中数学——函数的周期性

高中数学——

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高中数学——函数的周期性

一、知识回顾

1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．关于函数周期性常用的结论

(1)若满足，则，所以是函数的一个周期()；

(2)若满足，则＝，所以是函数的一个周期()；

(3)若函数满足，同理可得是函数的一个周期().

高中数学——函数的周期性全文共2页，当前为第2页。（4）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么

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（5）函数图像关于轴对称．

（6）函数图像关于中心对称．

（7）函数图像关于轴对称，关于中心对称．

二、方法规律技巧

1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝eq\f(2π,|ω|)计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．

2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

高中数学——函数的周期性全文共3页，当前为第3页。3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k

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4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．

三、例题讲解：

1、设定义在上的函数满足，若，则．

2、已知f（x）是R上的奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（﹣1）=﹣2，则f（2013）等于（）

A．2B．﹣2C．﹣1D．2013

3、定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，且对任意的实数x都有f(x)＝－f，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝()

A．0B．－2

C．1D．－4

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关键．

五、易错试题常警惕

易错典例1：若函数f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k＝________.

易错典例2：定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为 ()

A．0 B．1C．3 D．5

【变式】设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为 ()

A．－3 B．3C．－8D．8

练习：A基础测试

1.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为.

高中数学——函数的周期性全文共6页，当前为第6页。2.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出下列函数①②③④，其中是奇函数的是（）

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A.①② B.①④ C.②④ D.③④

3.【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围是．

4.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】，若，则（）

A.0 B.3 C.-1 D.-2

5.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知偶函数对任意均满足，且当时，，则的值是.

B能力提升训练

1.【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（）

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2.【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校20