易错拔尖：平行四边形的判定（解析版）.docxVIP

易错拔尖：平行四边形的判定

易错点

混淆平行四边形的判定方法导致判断错误

1．（2020春?丹东期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠BCF；④∠ABE＝∠CDF；其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是．（只填序号）

思路引领：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②③不能证明对角线互相平分，只有①④可以，即可得出结论．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC，

①OE＝OF，

则四边形DEBF是平行四边形；

故①能判定四边形DEBF是平行四边形；

②DE＝BF时，不能证明OE＝OF，

故②不能判定四边形DEBF是平行四边形；

③∠ADE＝∠BCF时，不能证明OE＝OF，

故③不能判定四边形DEBF是平行四边形；

④∵AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DCF，

在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCFAB=CD

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF，

∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，

又∵OB＝OD，

∴四边形DEBF是平行四边形；

故④能判定四边形DEBF是平行四边形；

故答案为：②③．

总结提升：本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

拔尖角度

角度1利用两组对边的关系判定平行四边形

2．（2021?高青县一模）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D．

（1）求证：四边形BCED是平行四边形；

（2）已知DE＝3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．

思路引领：（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；

（2）根据平行四边形的性质和角平分线定义可以证明CN＝CB＝DE．

（1）证明：∵∠A＝∠F，

∴DF∥AC，

∴∠C＝∠FEC，

又∵∠C＝∠D，

∴∠FEC＝∠D，

∴DB∥EC，

∴四边形BCED是平行四边形；

（2）解：∵BN平分∠DBC，

∴∠DBN＝∠CBN，

∵BD∥EC，

∴∠DBN＝∠BNC，

∴∠CBN＝∠BNC，

∴CN＝BC，

又∵BC＝DE＝3，

∴CN＝3．

总结提升：本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．

角度2利用对角线的关系判定平行四边形

3．（2022春?石河子期末）如图，在?ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE、EB、BF、FD．

求证：

（1）△ADE≌△CBF；

（2）四边形DEBF是平行四边形．

思路引领：（1）根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠BCF，根据全等三角形的判定得出即可；

（2）根据全等三角形的性质得出DE＝BF，∠AED＝∠BFC，求出∠DEF＝∠BFE，根据平行线的判定得出DE∥BF，根据平行四边形的判定得出即可．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BCF，

在△ADE和△CBF中

AD=CB∠DAE=∠BCF

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）∵△ADE≌△CBF，

∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC，

∵∠AED+∠DEF＝180°，∠BFC+∠BFE＝180°，

∴∠DEF＝∠BFE，

∴DE∥BF，

∵DE＝BF，

∴四边形DEBF是平行四边形．

总结提升：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

角度3利用平行四边形的判定和性质求线段的长

4．（2019春?西湖区校级期中）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．

（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；

（2）当∠C＝30°，BD=23时，求D，F

思路引领：（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，证出∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG＝∠C，证出∠F＝∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；

（2）证出△BDE、△BEF是等腰三角形，得出BE＝DE＝BF，由直角三角形的性质得出BN=12BD=3，EN=BN3=1，BF＝BE＝2EN＝2，FM=12BF＝1，得出BM=3FM=3

（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC＝∠C，

∵EG∥BC，DE∥AC，

∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，

∴∠DEG＝∠C，

∵BE＝BF