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《全等三角模型（一）》作业设计

例题1在直线AB的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）?△ABE≌△DBC

（2）?AE=DC

（3）?AE与DC的夹角为60°

（4）?△AGB≌△DFB

（5）?△EGB≌△CFB

（6）?BH平分∠AHC

（7）?GF∥AC

【解题思路】

（1）利用SAS证全等（AB=DB,∠ABE=∠DBC,BE=BC）

（2）由△ABE≌△DBC可得AE=DC

（3）利用直线AH、BD形成8字模型得：∠GAB+∠GBA=∠GDH+∠GHD，得∠GHD=∠GBA=60°

（4）利用AAS证全等（由（1）的全等得∠BAG=∠BDF，∠ABG=∠DBF=60°，AB=DB）

（5）和（4）同理

（6）连结HB，过B做AE和DC上的高线，由△ABE≌△DBC可证对应边AE和DC边上的高相等，利用角平分线逆定理可证HB是平分线

（7）∠GBF=60°和BG=BF，可证△BGF是正三角形，∠BGF=∠ABD=60°，GF∥AC

【设计意图】

本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．也考查了等边三角形的性质。

本题是手拉手模型中最特殊的一种，有七个结论，遵循特殊到一般的原则进行变式训练，加深学生对此类题的理解。

变式1如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）?△ABE≌△DBC

（2）?AE=DC

（3）?AE与DC的夹角为60°

（4）?AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC???

【解题思路】

（1）利用SAS证全等（AB=DB,∠ABE=∠DBC,BE=BC，其中∠ABE=∠DBC由∠ABD-∠EBD=∠EBC-∠EBD得出）

（2）由△ABE≌△DBC可得AE=DC

（3）延长AE交DC于点H，AH和BD交于G，利用直线AH、BD形成8字模型得：∠GAB+∠GBA=∠GDH+∠GHD，得∠GHD=∠GBA=60°

（4）连结HB，过B做AE和DC上的高线，由△ABE≌△DBC可证对应边AE和DC边上的高相等，利用角平分线逆定理可证HB是平分线

【设计意图】

本题是手拉手模型中从特殊到一般的第一类变式，原先两个正三角形的一边在同一直线上变式成小正三角形往逆时针方向旋转。一开始特殊情况下有七个结论成立，当条件减弱后，七个结论由于条件的缺失少了三个结论，可以让学生感知几何题中，条件对结论的影响。进而加深对几何题条件的重视。

变式2如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC

（2）AE=DC

（3）AE与DC的夹角为60°

（4）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC

【解题思路】

（1）利用SAS证全等（AB=DB,∠ABE=∠DBC,BE=BC，其中∠ABE=∠DBC由∠ABD-∠EBD=∠EBC-∠EBD得出）

（2）由△ABE≌△DBC可得AE=DC

（3）延长AE交DC于点H，AH和BD交于G，利用直线AH、BD形成8字模型得：∠GAB+∠GBA=∠GDH+∠GHD，得∠GHD=∠GBA=60°

（4）连结HB，过B做AE和DC上的高线，由△ABE≌△DBC可证对应边AE和DC边上的高相等，利用角平分线逆定理可证HB是平分线

【设计意图】

本题是手拉手模型中从特殊到一般的第一类变式，原先两个正三角形的一边在同一直线上变式成小正三角形往顺时针方向旋转。一开始特殊情况下有七个结论成立，当条件减弱后，七个结论由于条件的缺失少了三个结论，可以让学生感知几何题中，条件对结论的影响。进而加深对几何题条件的重视。

变式3如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H，问：

（1）△ADG≌△CDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分∠AHE？

【解题思路】同上

【设计意图】

本题是手拉手模型中从特殊到一般的第二类变式，原先两个正三角形变式成两个正方形的问题。虽然图形有所变化，但是手拉手的核心结论并没有发生变化。

变式4如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问：

（1）△ADG≌△CDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分∠AHE？

【解题思路】同上

【设计意图】

本题是手拉手模型中从特殊到一般的第三类变式，原先两个正三角形变式成两个等腰直角三角形的问题。虽然图形有所变化，但是手拉手的核心结论并没有发