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有阻力的抛体运动的函数方程

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有阻力的抛体运动的函数方程

摘要:本文运用导数、微积分的有关知识建立并解决有阻力的斜抛运动的微分方程，得出各变量间的函数关系，其中还运用了一些简单的物理知识，并通过求极限顺便得出有阻力的竖直上抛，竖直下抛运动和无阻力抛体运动的一些基本函数方程，然后讨论斜上抛运动水平最远射程与抛射角的关系问题，最后取一组简单的数据进行定量计算。

关键词:有阻力;函数方程;

在研究抛体运动前，先简单说明微分方程的概念和基本解法。⑴一般地，凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。

在这里，只讨论一类较特殊的微分方程：

①

①式可分离变量得：②

②式表示状态量，对两边各状态量累加求和

得：

由定积分与微分的和的极限的关系，可将上式改写为

③，其中

由③式可解出y与x满足的方程，③式也可写成不定积分的形式④，其中C为常数，依赖于初值条件。

下面研究问题时就不再像上述一样清晰了，且不常用③式而常用④式.再给出曲线的曲率半径的求法。⑴

对于曲线y=Y(x)，为曲线的切线斜率的反正切值，即⑤

⑥

yhO00fvmgv0x现在开始正式讨论问题：一质量为m的物体，初距水平地面高为h，以V0的速率沿与水平方向夹角为的方向抛出，重力加速度为g，所受空气阻力

y

h

O

00

f

v

mg

v0

x

过物体初始位置，垂直地面向上建立y轴，过y轴与地面交点建x轴，使物体运动轨迹在xoy平面的第一象限内，即右图。

分析问题可知，四个变量：横坐标x，纵坐标y，速率v，时间t中任

（V）

至此已得出了（I）、（II）、（III）、（IV）、（V）五个有阻力抛体运动的基本函数方程，下面再求出物体能达到的最高处

当时，由eq\o\ac(○,15)式解得：eq\o\ac(○,20)

将eq\o\ac(○,20)式代入（I）得：(VI)

(3)在上述讨论中，所得出的方程都是在一般条件下得到的，接下来顺便导出特殊运动的函数方程，因为上述各式中，因此不能直接导出，下面通过求极限的方法得出三类特殊运动的方程。

(a)竖直上抛运动

当时，由（III）知：

由正弦函数的连续性可知：

eq\o\ac(○,21)

同理，由（V）得：

若考虑速度v向上为正，向下为负，则可得：

eq\o\ac(○,22)

由（VI）得eq\o\ac(○,23)

(b)竖直下抛运动

同样，当时，由（III）求极限得：

eq\o\ac(○,24)

由（V）式求极限得

eq\o\ac(○,25)

由eq\o\ac(○,25)式知道，若，则v恒大于，阻力恒大于重力，且随时间增大而趋近。

若，则v恒小于，阻力恒小于重力，随时间增大而趋于相等。

(c)无阻力抛体运动

当k→0时，由（I）式得：

因为k→0时，，同时用洛必达法则求极限[1]，将被求根限式的分子、分母对k求导，得

化简得：

eq\o\ac(○,26)

由（II）求极限

由导数的定义得

eq\o\ac(○,27)

将eq\o\ac(○,27)式代入eq\o\ac(○,26)式中得eq\o\ac(○,28)

当然，上面三类运动的方程可直接分析原运动，且那样更能简单得出方程，这里只是顺便导出。

（4）接着讨论一个实用的问题：当初始抛角为何值时，水平射程最远。

首先，我们知道，当取时，不可能取到最大水平射程，更不可能。

在（I）中取y=0，则有

eq\o\ac(○,29)

设m、g、k、v0均为常数，为变量，改写为，则x是的函数，，将eq\o\ac(○,29)式两边对求导。

化简后得：

eq\o\ac(○,30)

设，

当A=0时，则eq\o\ac(○,31)

同时，由eq\o\ac(○,30)式知B=0，此时eq\o\ac(○,32)或x=0

由eq\o\ac(○,29)式知x≠0，联立eq\o\ac(○,31)、eq\o\ac(○,32)两式解得

这三值都不合eq\o\ac(○,29)式，也不符所设条件

由上述分析：从可知其逆否命题

成立。

由此可知A不可能为0，又x不可能为0，

因此，（VII）

即当θ取某个值θ1时，（VII）式成立，

则，此