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第三章可修复系统的可靠性

在任务执行期间，当系统故障而不能执行任务时允许修理，修复后继续执行任务。其任务可靠性不仅受各单元可靠性的影响，而且受到各单元维修特性的影响。研究系统开始工作后，在任意时刻系统处于工作状态的概率。方法马尔可夫过程法可修复系统:对于象汽车、飞机、通信系统等大多数复杂系统而言,一旦发生故障常常是修理而不是置换。

第一节马尔柯夫过程一、基本概念SF故障修复也可能不转移（无故障）未修复随机事件的变化过程，它无法用确定性的形式来描述。在使用期间可以修复的复杂系统，由系统部件的可靠性和维修性决定了系统在任务期间的某一时刻，系统可能随机地处于某种状态正常状态故障状态或修理状态

可用一组随机变量X(t)来描述。状态转移：描述系统的变量从一个状态的特定值变化到另一个状态的特定值，则说系统实现了状态的转移。转移概率：由一种状态向另一种状态转移是随机的，是以一定的概率来实现的，此概率称为转移概率。假如系统完全由定义为“状态”的变量的取值来描述，则：状态转移是个随机过程，要用系统在各种状态下的概率来描述，是一个典型的时间连续和状态离散的随机过程。0

★马尔柯夫过程：转移概率只需考虑过去有限次之内状态情况，而与这有限次以前的状态无关，这样的随机过程称为马尔柯夫过程。如果由一个状态转移到另一个状态的转移概率只与现在所处状态有关，而与这一状态以前各状态完全无关，这样的马尔柯夫过程称为一步马尔柯夫过程。★一步马尔柯夫过程：如果已知时间对应所处状态为只要前一个状态可用于在任务期间部件的寿命和修复时间均服从指数分布的系统可靠度的描述。只要已知系统开始工作时的状态，就可以确定以后任意时刻，系统处于可工作状态的概率，而与以前的状态无关。

一经决定，转移到时刻tn的状态的条件概率为：二、转移矩阵有一台机器，运行到某一时刻t时，可能有的状态有e1（正常运行）及e2（发生故障）。假设处于e1状态的概率为4/5，维修度为3/5。则：处于e1状态的概率：

由e1向e2转移的概率：由e2向e1转移的概率：处于e2状态的概率：两状态转移图为：e1e24/51/53/52/5

转移矩阵：一般形式：设可能发生的状态有e1，e2，e3，…，en，在事件ei发生后，事件ej发生的条件概率为Pij，其转移矩阵为：

如果系统的初始状态是ei，经过n次转移后处于ej的概率是此转移期间所有通道v的概率和，记作：设以为元素组成的矩阵为以为元素组成的矩阵为

则：例3－1已知e1，e2，e3三个状态，其状态转移图如图所示。初始状态为E(0)=(1,0,0),求由e1出发至第二步转移后各状态的概率。e1e2e3

解：方法一该状态转移图的转移矩阵：则：

方法二该题目中，v=1，2，3；n=2。

三、极限概率及各态历经性例3－2某设备状态转移图如图所示，如初始状态向量，求各次转移后设备所处的状态。e1e21/21/22/53/5解：其转移矩阵为：

当n=1时当n=2时以此类推，可得：

n次转移概率转移步数012345…e1（正常状态）10.50.450.4450.44450.44445…e2（故障状态）00.50.550.5550.55550.55555…结论：（1）随着转移步数的增加，状态趋于稳定。稳定状态的概率称为极限概率。（2）当n趋于无穷大时，n步转移矩阵Pn将收敛于一个概率矩阵。

（3）稳定状态极限概率于初始状态无关。如果初始状态为，n次转移的概率为：转移步数012345…e1（正常状态）00.40.440.4440.44440.44444…e2（故障状态）10.60.560.5560.55560.55556…

各态历经性：任何马尔柯夫转移矩阵，它的极限概率与初始状态无关，称之为各态历经性，这样的状态转移矩阵称为遍历矩阵。遍历矩阵经n次转移后达到稳定状态，在这种情况下，其整体状态变量可用行向量X表示。在经过转移后，转移矩阵已经稳定（收敛），因此，即使再转移下去，它的状态概率也不会变了。所以可以写出：

吸收状态：当转移过程达到某一状态，再也不能向其他状态转移时，称此状